2.3 第1课时 函数的单调性-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】配套教师用书（北师大版）

§3　函数的单调性和最值 新课程标准 学业水平要求 .借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性． 2．理解 水平一 1.借助教材实例理解函数单调性的定义及相关的概念．(数学抽象) 2．借助教材实例理解函数最大(小)值的定义．(数学抽象) 3．会用单调性的定义证明函数的单调性．(逻辑推理) 4．会利用函数的单调性求函数的最大(小)值．(数学运算) 水平二 能利用函数的单调性研究参数的范围、比较大小等相关的问题．(逻辑推理) 第1课时　函数的单调性 知识点一　增函数、减函数的概念 设函数y＝f(x)的定义域是D： 如果对于任意的x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是增函数．特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递增． 如果对于任意的x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是减函数．特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递减． [点拨]　x1，x2的三个特征： (1)同区间性，即x1，x2∈I； (2)任意性，即不可用区间I上的两个特殊值代替x1，x2； (3)有序性，即需要区分大小，通常规定x1<x2. 知识点二　函数的单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上是单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I为函数y＝f(x)的单调区间． [点拨]　(1)并非所有的函数都具有单调性．如函数f(x)＝它的定义域为R，但不具有单调性． (2)函数在某个区间上是单调增(减)函数，但是在整个定义域上不一定是单调增(减)函数，如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0＋∞)上都是减函数，但是在整个定义域上不具有单调性． (3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．如函数y＝(x≠0)的单调减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞).(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，不能认为y＝ (4)函数的单调性是相对于函数的定义域的子区间A而言的．对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题．因此在写单调区间时，区间端点可以包括，也可以不包括．但对于函数式无意义的点，单调区间一定不能包括这些点． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．下列命题中真命题的个数为(　　) ①定义在(a，b)上的函数f(x)，如果∃x1，x2∈(a，b)，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，那么f(x)在(a，b)上是增函数； ②如果函数f(x)在区间I1上为减函数，在区间I2上也为减函数，那么f(x)在区间I1和I2上就一定是减函数； ③∀x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，当<0时，f(x)在(a，b)上为减函数； ④∀x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，当(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0时，f(x)在(a，b)上是增函数； ⑤∃x1，x2∈(a，b)，且x1<x2，f(x1)≥f(x2)成立，则函数f(x)在(a，b)上不是增函数． A．1 B．2 C．3 D．4 C　[①是假命题，“存在”“无穷多个”不能代表“所有”“任意”； 由f(x)＝，可知②是假命题； ∵<0等价于[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)<0， 而此式又等价于 或 即或 ∴f(x)在(a，b)上为减函数，③是真命题，同理可得④也是真命题． 若要说明函数f(x)在某个区间上不是增(减)函数，只需在该区间上找到两个值x1，x2，证明当x1<x2时，f(x1)≥f(x2)(f(x1)≤f(x2))成立即可，故⑤是真命题．] 2．下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)的是________(填序号). ①f(x)＝x2；②f(x)＝； ③f(x)＝|x|；④f(x)＝2x＋1. 答案：　② 3．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是________． 答案：　[－3，1] 4．函数f(x)＝－x2－2x的单调递增区间是________． 答案：　(－∞，－1] 探究点一　函数单调性的判定与证明 (1)(多选)下列函数在(－∞，0)上为增函数的是(　　) A．y＝|x|＋1 B．y＝ C．y＝－ D．y＝x＋ (2)证明函数f(x)＝x＋在(0，1)上是减函数． 解析：　(1)y＝|x|＋1＝－x＋1(x<0)在(－∞，0)上为减函数；y＝＝x－1(x<0)在(－∞，0)上