2.2.2 第2课时 分段函数-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】配套教师用书（北师大版）

第2课时　分段函数 知识点　分段函数 1．分段函数 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数． 2．分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象． [点拨]　(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系． (2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围． (3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集．分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式． (4)分段函数的值域是各段函数在相应自变量的取值范围内值域的并集． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分段函数中各段函数的定义域交集是空集，并集是分段函数的定义域．(　　) (2)函数y＝不是分段函数．(　　) (3)分段函数f(x)＝则f(－2)＝－2.(　　) 答案：　(1)√　(2)×　(3)× 2．已知f(x)＝则f(－2)＝________． 答案：　2 3．函数y＝的定义域为________，值域为________． 答案：　(－∞，0)∪(0，＋∞)　{－2}∪(0，＋∞) 4．下列图形是函数y＝x的图象的是________(填序号). 答案：　④ 探究点一　分段函数求值问题 已知函数f(x)＝ (1)求f的值； (2)若f(a)＝，求a的值． 解析：　(1)因为f，－2＝－＝ 所以f.＝＝＝f (2)f(a)＝，－2＝≤1，则，若 解得a＝.或a＝－ 因为≤1，所以a的值不存在； 若＞1.，符合，得a＝±＝＞1，则 所以若f(a)＝.，a的值为± 分段函数求值问题的常见解法 (1)求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (2)已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验． (3)在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可．　　 [对点训练] 1．f(x)＝则f(5)的值是(　　) A．24 B．21 C．18 D．16 A　[f(5)＝f(f(10))，f(10)＝f(f(15))＝f(18)＝21， ∴f(5)＝f(21)＝24.故选A.] 2．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________． 解析：　当1－a＜1，即a＞0时，a＋1＞1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－，符合题意．综上所述，a＝－(舍去)；当1－a＞1，即a＜0时，a＋1＜1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1＋a)＋a＝－(1－a)－2a，解得a＝－ 答案：　－ 探究点二　分段函数的图象及应用 分别作出下列分段函数的图象，并写出定义域及值域： (1)y＝ (2)y＝ 解析：　各函数对应图象如图所示： 由图象知，(1)的定义域是(0，＋∞)，值域是[1，＋∞)；(2)的定义域是(－∞，＋∞)，值域是(－6，6]. 分段函数图象的画法 (1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． (2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．　　 [对点训练] 1．函数y＝的图象的大致形状是(　　) A　[因为y＝所以函数的图象为选项A.]＝ 2．设x∈R，则函数y＝2的值域为________．－3 解析：　当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2； 当0≤x＜1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2； 当x＜0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2. 故y＝ 根据函数解析式作出函数图象，如图所示．由图象可以看出，函数的值域为(－∞，2] 答案：　(－∞，2] 探究点三　分段函数的应用问题 某市有A，B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元，某企业准备下个月从这