1.4.3 一元二次不等式的应用-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】配套教师用书（北师大版）

4.3　一元二次不等式的应用 新课程标准 学业水平要求 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义． 水平一 1.会解分式不等式．(数学运算) 2．能用一元二次不等式解决实际问题．(数学建模) 水平二 深入理解一元二次不等式的解法，进而学会解答一元二次不等式恒成立问题．(数学运算) 1．选取合适的字母表示题中的未知数． 2．由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组). 3．求解所列出的不等式(组). 4．结合题目的实际意义确定答案． 1．不等式<0的解集为(　　) A．{x|x>－1且x≠0} B．{x|x<－1或0<x<1} C．{x|－1<x<0} D．{x|x<－1} D　[因为<0，所以x＋1<0且x≠0， 解得x<－1.故选D.] 2．某文具店购进一批新型台灯，每盏最低售价为15元，若按最低售价销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是(　　) A．{x|10<x<20} B．{x|15≤x<20} C．{x|15<x<20} D．{x|10≤x<20} B　[由题意可知x[30－2(x－15)]>400，则－2x2＋60x－400>0，即x2－30x＋200<0， ∴(x－10)(x－20)<0，解得10<x<20. 又∵每盏最低售价为15元，∴15≤x<20.故选B.] 3．一元二次不等式ax2－2x－1<0恒成立，则实数a的取值范围是________． 解析：　由题意知 解得a<－1. 答案：　(－∞，－1) 探究点一　实数系R上恒成立问题 若对于一切实数x，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围． 解析：　要使mx2－mx－1<0恒成立， 若m＝0，显然－1<0，满足题意； 若m≠0，⇒－4<m<0. 所以－4<m≤0. 一元二次不等式在R上的恒成立问题 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 (2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 (3)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 (4)一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 [注意]当不等式ax2＋bx＋c>0未说明为一元二次不等式时，对任意实数x∈R恒成立时满足的条件为　　 或 [对点训练] 　已知不等式mx2－2x＋m－2<0.若对于任意的实数x不等式恒成立，求m的取值范围． 解析：　当m＝0时，－2x－2<0，显然对任意x不能恒成立；当m≠0时，由二次函数的图象可知有}．，故m的取值范围是{m|m<1－解得m<1－ 探究点二　在给定区间上的恒成立问题 若对于x∈[1，3]，不等式mx2－mx－1<－m＋5恒成立，求m的取值范围． 解析：　方法一　要使mx2－mx－1<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立， 就要使mm－6<0在x∈[1，3]上恒成立．＋ 令y＝mm－6，x∈[1，3].＋ 当m>0时，函数值y在[1，3]上随x的增大而增大， ∴ymax＝7m－6<0，∴0<m<； 当m＝0时，－6<0恒成立； 当m<0时，函数值y在[1，3]上随x的增大而减小， ∴ymax＝m－6<0，得m<6，∴m<0. 综上所述，m<. 方法二　当x∈[1，3]时，mx2－mx－1<－m＋5恒成立， 即当x∈[1，3]时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立． ∵x2－x＋1＝>0，＋ 又m(x2－x＋1)－6<0， ∴m<. ∵函数y＝＝ 在[1，3]上的最小值为， ∴只需m<即可． 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数． (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离．分离参数思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.　　 [对点训练] 　当x∈(0，＋∞)时，不等式x2－ax＋1≥0恒成立，求实数a的取值范围． 解析：　当x∈(0，＋∞)时，不等式x2－ax＋1≥0恒成立， 即a≤恒成立，恒成立，即a≤x＋ 即a≤. ∵x∈(0，＋∞)， ∴x＋＝2，≥2 当且仅当x＝，即x＝1时取等号， ∴当x＝1时，＝2，∴a≤2， ∴实数a的取值范围是(－∞，2]. 探究点三　一元二次不等式的实际应用 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担．政府为了鼓励农贸公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个