1.3.2 第2课时 基本不等式的应用-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】配套教师用书（北师大版）

第2课时　基本不等式的应用 知识点　用基本不等式求最值 当x，y均为正数时： (1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值； (2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值2． 1．已知a>0，b>0，ab＝1，且m＝b＋，则m＋n的最小值是(　　)，n＝a＋ A．3 B．4 C．5 D．6 B　[m＋n＝＋ ＝≥2＋2＝4＋ 又∵ab＝1 ∴当且仅当a＝b＝1时，“＝”成立．] 2．已知x>2，则x＋的最小值为________． 解析：　x＋＋2＝(x－2)＋ ≥2 ＋2＝2×2＋2＝6， 当且仅当x－2＝，即x＝4时，“＝”成立． 角度一　通过变形后应用基本不等式求最值 求下列函数的最值，并求出相应的x值． (1)y＝x＋(x<0)； (2)y＝＋x(x>3)； (3)y＝x(1－3x). 解析：　(1)y＝x＋.时，y取最大值－(x<0)，即x＝－，当且仅当x＝＝－≤－2 ＝－ (2)y＝＝x－3(x>3)，即x＝4时，y取最小值5.＋3＝5，当且仅当＋(x－3)＋3≥2 ＋x＝ (3)y＝x(1－3x)＝.时，y取最大值，当且仅当3x＝1－3x，即x＝＝××3x(1－3x)≤ 利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件．解题时应对照已知条件和欲求的式子，运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创造使用基本不等式的条件，具体可以归纳为：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应凑出定和或定积；三不等，一般需用其他方法，如尝试利用函数的单调性．　　 [对点训练] 　当x≥的最小值为________．时， 解析：　方法一　∵x≥，∴x－2>0，则 ，即x＝3时，等号成立，此时取得最小值1.≥1，当且仅当x－2＝＝ 方法二　令2x－4＝t，∵x≥，∴t≥1. ∴x＝＋2. 原式可化为＝1，≥2 ＋＝＝ 当且仅当，即t＝2，x＝3时，等号成立，此时取得最小值1.＝ 答案：　1 角度二　应用“1”的代换转化为基本不等式求最值 已知正数a，b满足a＋b＝1，则的最小值为________．＋ 解析：　∵正数a，b满足a＋b＝1， ∴＝4，≥2＋2 ＋＝2＋＝(a＋b)＋ 当且仅当a＝b＝时，等号成立． ∴的最小值为4.＋ 答案：　4 在利用基本不等式求最值时，常用的技巧就是“1”的代换，其目的是借助“1”将所求式子的结构进行调整，优化到能够利用基本不等式求解为止．　　 [对点训练] 　已知正数a，b满足＝4，则a＋b的最小值为________．＋ 解析：　∵a＋b＝(a＋b)时，等号成立，所以a＋b的最小值为1.，即a＝b＝＝＝1，当且仅当＋＝＋2 ≥＋＝ 答案：　1 角度三　含有多个变量的条件的最值问题 已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为________． 解析：　由2a＋b＝ab－1，得a＝， 因为a>0，b>0，所以a＝>0，b＋1>0，所以b>2， 所以a＋2b＝，＋5＝5＋2＋5≥2 ＋2(b－2)＋4＝2(b－2)＋＋2b＝ 当且仅当2(b－2)＝时等号成立．，即b＝2＋ 答案：　5＋2 含有多个变量的条件最值问题的解决方法 对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题．　　 [对点训练] 　若实数a，b满足ab>0，则a2＋4b2＋的最小值为(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 C　[实数a，b满足ab>0，则a2＋4b2＋时等号成立．故选C.]≥4，当且仅当a＝2b且ab＝≥4ab＋ “足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q万件(生产量与销售量相等)与推广促销费x万元之间的函数关系为Q＝元/件．那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润＝销售额－成本－推广促销费)万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为(其中推广促销费不能超过3万元).已知加工此批农产品还要投入成本2 解析：　设该批产品的利润为y， 由题意知y＝－x·Q－2 ＝2Q＋20－2Q－－x－x＝20－ ＝20－－x ＝21－，0≤x≤3. ∵21－＝17，≤21－2 当且仅当x＝1时，上式取“＝”， ∴当x＝1时，ymax＝17. 即：当推广促销费投入1万元时，利润最大为17万元． 求实际问题中最值的一般思路： (1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式． (2)把实际问题抽象成函数的最值问题