1.3.2 第1课时 基本不等式-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】配套教师用书（北师大版）

3.2　基本不等式 新课程标准 学业水平要求 1.掌握基本不等式 (a≥0，b≥0).≥ 2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 水平一 1.能利用重要不等式推导出基本不等式．(逻辑推理) 2．结合具体几何图形理解基本不等式的几何意义，及其推导过程(逻辑推理) 3．结合教材案例会用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．(逻辑推理、数学运算) 水平二 掌握基本不等式，学会灵活变换条件使用基本不等式解决最值问题，(逻辑推理、数学运算) 第1课时　基本不等式 知识点　基本不等式 1．如果a≥0，b≥0，，当且仅当a＝b时，等号成立．≥ 其中 称为a，b的几何平均值．称为a，b的算术平均值， 两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值． 2．变形：ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． [点拨]　不等式a2＋b2≥2ab与的比较≥ (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)；≥ (2)两个不等式a2＋b2≥2ab和都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”．≥ 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab.(　　) (2)当a>0，b>0时，a＋b≥2.(　　) (3)当a>0，b>0时，ab≤.(　　) (4)当n∈N＋时，n＋.(　　)>2 答案：　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．a2＋b2≥2ab成立的条件是a≥0，b≥0 B．a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R C．a＋b≥2成立的条件是a≥0，b≥0 D．a＋b≥2成立的条件是ab>0 BC　[根据基本不等式成立的条件可知只有BC正确，故选BC.] 3．下列命题中正确的是(　　) A．若a，b∈R，则＝2≥2 ＋ B．若x>0，则x＋>2 C．若x<0，则x＋＝－4≥－2 D．若x∈R时，则2x2＋＝2≥2 D　[A选项必须保证a，b同号，不等式才成立；B选项应含有等号，即若x>0，则x＋≤－4；D选项正确．故选D.]＝4，则x＋≥2 >0，则－x－≥2；C选项中，若x<0，则－x>0，－ 探究点一　对基本不等式的理解 下列命题正确的是(　　) A．若x≠0，则x＋≥4 B．若a，b∈R，且ab>0，则≥2＋ C．的最小值为2＋ D．y＝2－3x－(x>0)≥2－4 B　[A选项，只有当x>0时，不等式才成立，A错误；B选项，因为ab>0，所以，D错误．]≤2－4)2＝1，得x2＝－1，无实数解，不正确；D选项，y＝2－>0，由基本不等式知B正确；C选项，若最小值为2，需(>0， 应用基本不等式时要注意以下三点 (1)各项或各因式均为正； (2)和或积为定值； (3)各项或各因式能取得相等的值．即“一正二定三相等”．　　 [对点训练] 　下列结论不成立的是(　　) A．若a，b∈R，则a10＋b10≥2a5b5 B．若x≠0，则x2＋≥2 C．若≥2，则必有a>0，b>0＋ D．若a∈R，则有a2＋9≥6a C　[由基本不等式可知，若>0，因此a>0，b>0或a<0，b<0，故C不正确．其他选项均正确．]>0，≥2成立，则有＋ 探究点二　利用基本不等式直接求最值 (1)当x>0时，求＋4x的最小值； (2)当x<0时，求＋4x的最大值； (3)已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值． 解析：　(1)∵x>0，∴>0，4x>0. ∴.＝8＋4x≥2 当且仅当，时取最小值8＝4x，即x＝ ∴当x>0时，.＋4x的最小值为8 (2)∵x<0，∴－x>0. 则，＝8＋(－4x)≥2 当且仅当时取等号．＝－4x时，即x＝－ ∴.＋4x≤－8 ∴当x<0时，.＋4x的最大值为－8 (3)4x＋，＝4≥2 当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时取等号， ∴a＝36. 应用基本不等式求最值的原则 利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： (1)一正：符合基本不等式成立的前提条件，a≥0，b≥0；≥ (2)二定：化不等式的一边为定值； (3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立，以上三点缺一不可．　　 [对点训练] 1．已知x>0，则＋x的最小值为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 A　[∵x>0，∴，即x＝3时，等号成立，此时取得最小值6.]＝6，当且仅当x＝＋x≥2 2．已知a>0，b>0，且ab＝1，则a＋4b的最小值为________． 解析