1.3.1 不等式的性质-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】配套教师用书（北师大版）

§3　不等式 3．1　不等式的性质 新课程标准 学业水平要求 1.梳理等式的性质． 2．理解不等式的概念． 3．掌握不等式的性质． 水平一 1.能从现实世界和日常生活的实例中抽象出不等式的概念．能从等式的性质类比出不等式的性质．(数学抽象) 2．理解实数比较大小的基本事实，会比较两个实数的大小．(数学运算) 3．掌握不等式的性质及其成立的条件，会利用不等式的性质．(逻辑推理) 水平二 1.熟练掌握实数比较大小的方法及运算．(数学运算) 2．灵活运用不等式的基本性质解决求范围问题或判断、证明不等式．(逻辑推理) 知识点一　实数大小比较的基本事实 1．基本事实 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b，反过来也成立． 2．这个基本事实可以表示为 a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b. 知识点二　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 2 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 3 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc c的符号 a>b，c<0⇒ac<bc 4 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 不可逆 5 同向正值可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； a>b>0，c<d<0⇒ac<bd 不可逆 6 可开方性 a>b>0⇒> n∈N＋，n≥2 特殊地，当a>b>0时，an>bn，其中n∈N＋，n≥2. [点拨]　对不等式性质的六点说明 (1)性质1(即传递性)，在它们的证明中，要用到比较大小的“定义”等知识． (2)性质2(即可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”的依据． (3)性质3(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”． (4)性质4(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”． (5)性质5和性质6(即同向同正可乘性，可乘方性)，即均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式． (6)性质2可双向推导，其他是“单向”推导． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a>b，则a－c>b－c.(　　) (2)>1⇒a>b.(　　) (3)同向不等式相加和相乘的条件是一致的．(　　) (4)⇔a＋c>b＋d. 答案：　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　) A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b C 3．下列命题正确的是(　　) A．a>b，c≠0⇒ac2>bc2 B．a<b⇒< C．a>b且c<d⇒a＋c>b＋d D．a>b⇒a2>b2 A 4．若a>b>0，n>0，则.(填“>”“<”或“＝”)________ 答案：　< 5．当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为________． 解析：　∵m3－(m2－m＋1) ＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1) ＝(m－1)(m2＋1). 又∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0.∴m3－(m2－m＋1)>0， 即m3>m2－m＋1 答案：　m3>m2－m＋1 探究点一　数式的大小比较 (1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小； (2)已知a>0，试比较a与的大小． 解析：　(1)(x3－1)－(2x2－2x) ＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1) ＝(x－1)(x2－x＋1) ＝(x－1). ∵x<1，∴x－1<0. 又>0，＋ ∴(x－1)<0. 即x3－1<2x2－2x. (2)∵a－，＝＝ 又∵a>0， ∴当a>1时，；>0，有a> 当a＝1时，；＝0，有a＝ 当0<a<1时，.<0，有a< 综上，当a>1时，a>； 当a＝1时，a＝； 当0<a<1时，a<. 利用作差法比较大小的四个步骤 (1)作差：对要比较大小的两个式子作差． (2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形． (3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号． (4)作出结论． [注意]　上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．　　 [对点训练] 1．若x∈R，y∈R，则(　　) A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1 C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1 A　[因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2