1.2.1 第2课时 充要条件-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】配套教师用书（北师大版）

第2课时　充要条件 知识点　充要条件 1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q． 2．p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”． 3．当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件． [点拨]　对充要条件的理解 (1)p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”． (2)要判断p是否为q的充要条件，需要进行两次判断：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p.若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p是q的充要条件． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x＝0”是“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件．(　　) (2)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　) (3)若p是q的充要条件，则条件p和q是两个相互等价的条件．(　　) (4)q不是p的必要条件时，“p推不出q”成立．(　　) 答案：　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．以下选项中，p是q的充要条件的是(　　) A．p：3x＋2>5，q：－2x－3>－5 B．p：a>2，b<2，q：a>b C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有唯一解 D　[对于A，p：x>1，q：x<1，所以p是q的既不充分也不必要条件；对于B，p⇒q，但qq，但q⇒p，所以p是q的必要不充分条件；对于D，显然q⇔p，所以p是q的充要条件．故选D.]p，所以p是q的充分不必要条件；对于C，p 3．下列各题中，试判断p是否为q的充要条件？ (1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； (2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等； (3)p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集． 解析：　在(1)中，p⇔q，所以p是q的充要条件； 在(2)中，⊙O内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补，因此，pq，所以p不是q的充要条件； 在(3)中，取A＝{1，2}，B＝{3}，显然，A∩B＝，但A与B均不为空集，因此，pq，所以p不是q的充要条件． 探究点一　充要条件的判断 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件). (1)p：数a能被10整除，q：数a能被5整除； (2)p：x>1，q：x2>1； (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； (4)p：|ab|＝ab，q：ab>0. 解析：　(1)∵p⇒q，q不能推出p， ∴p是q的充分不必要条件． (2)∵p⇒q，q不能推出p， ∴p是q的充分不必要条件． (3)∵p不能推出q，q⇒p， ∴p是q的必要不充分条件． (4)∵当ab＝0时，|ab|＝ab， ∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”， 即p不能推出q. 而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q⇒p. ∴p是q的必要不充分条件． 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合之间的包含关系判断． (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性．　　 [对点训练] 　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”). (1)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； (2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2； (3)a是自然数；q：a是正数． 解析：　(1)∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5， ∴p是q的充要条件． (2)由q：(x＋2)2≠y2， 得x＋2≠y，且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y，所以pq，q⇒p， 故p是q的必要不充分条件． (3)0是自然数，但0不是正数，故p推不出q；又不是自然数，故q推不出p.故p是q的既不充分也不必要条件．是正数，但 探究点二　充要条件的探求 已知集合A＝[2a＋1，3a－5]，B＝[3，22]. (1)求使A∩B＝A成立的充要条件； (2)求A∩B＝A的一个充分不必要条件．(用含a的不等式表示) 解析：　(1)A∩B＝A⇔A⊆B，则集合A，B用数轴表示如图所示． 从而有解得6<a≤9. 反之亦成立，故6<a≤9即为所求． (2)由(1)可知A∩B＝A的一个充分不必要条件可为7≤a≤8(答案不唯一). 探求充要条件的方法 探求一个命题成立的充要条件一般有以下两种方法． (1)等价转化法：将原命题进行等价变形或转化，直至获得其成立的充要条件，探求的过程，同时也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分