1.2.1 第1课时 必要条件与充分条件-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】配套教师用书（北师大版）

§2　常用逻辑用语 2．1　必要条件与充分条件 新课程标准 学业水平要求 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系． 2．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系． 3．通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系． 水平一 1.能从教材实例中抽象出充分条件、必要条件和充要条件的意义．(数学抽象) 2．能进行有关充分条件、必要条件和充要条件的判断．(逻辑推理) 3．能从教材实例中抽象出判定定理与充分条件的关系．(数学抽象) 4．能从教材实例中抽象出性质定理与必要条件的关系．(数学抽象) 5．能从教材实例中抽象出数学定义与充要条件的关系．(数学抽象) 水平二 1.从集合观点理解充分条件、必要条件．(直观想象) 2．能利用充分条件、必要条件求参数的取值范围．(逻辑推理) 3．会探求或证明命题的充要条件．(逻辑推理) 第1课时　必要条件与充分条件 知识点　必要条件与充分条件 1．必要条件与充分条件 － “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p不能推出q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 2.性质定理、判定定理与必要条件、充分条件的关系 (1)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． (2)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． [点拨]　充分条件、必要条件的理解 (1)对“推出”的正确理解 对于命题p：x>2，q：x>1.显然p可以推出q，记为p⇒q，而q是不能推出p的． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”． (3)若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”． (4)若p⇒q，但qp则称p是q的充分不必要条件． (5)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件． (6)若pp，则称p是q的既不充分也不必要条件．q，且q 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件．(　　) (2)若p是q的充分条件，则p是唯一的．(　　) (3)若q不是p的必要条件，则“pq”成立．(　　) (4)“x>1”是“x>0”的充分条件. (　　) 答案：　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的________条件．(填“充分”“必要”) 答案：　必要 3．若集合A＝{1，m2}，B＝{2，4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的________条件．(填“充分”“必要”) 答案：　充分 探究点一　必要条件的判断 判断命题中q是否为p的必要条件. (1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (2)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (3)p：－2≤x≤5，q：－1≤x≤5. 解析：　(1)因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件． (2)因为p⇒q， 所以q是p的必要条件． (3)因为p推不出q， 所以q不是p的必要条件． 必要条件的两种判断方法 (1)定义法 　　 (2)命题判断方法 如果命题：“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件； 如果命题：“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件．　　 [对点训练] 　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若|x|＝|y|，则x＝y； (2)若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形； (3)p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形． 解析：　(1)若|x|＝|y|，则x＝y或x＝－y，因此p推不出q，所以q不是p的必要条件． (2)直角三角形不一定是等腰三角形，因此p推不出q，所以q不是p的必要条件． (3)等边三角形一定是等腰三角形，所以p⇒q，所以q是p的必要条件． 探究点二　充分条件的判断 下列“若p，则q”的形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若a∈Q，则a∈R； (2)在△ABC中，若A>B，则BC>AC； (3)已知a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0. 解析：　(1)由于QR，所以p⇒q，所以p是q的充分条件． (2)由三角形中大角对大边可知，若A>B，则BC>AC，因此p⇒q，所以p是q的充分条件． (3)因为a，b∈R，所以a2≥0，b2≥0，由a2＋b2＝0，可推出a＝b＝0，即p⇒q，所以p是q的充分条件． 充分条件