1.1.3 第2课时 全集与补集-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】配套教师用书（北师大版）

第2课时　全集与补集 知识点　全集与补集 1．全集 在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示．全集包含所要研究的这些集合． 2．补集 (1)定义：设U是全集，A是U的一个子集(即A⊆U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作∁UA. (2)符号：∁UA＝{x|x∈U，且xA}． (3)Venn图 (4)补集的性质 ①A∪(∁UA)＝U． ②A∩(∁UA)＝． ③∁UU＝，∁U＝U，∁U(∁UA)＝A． ④(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B). ⑤(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B). [点拨]　(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围． (2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的． (3)符号∁UA有三层意思： ①A是U的子集，即A⊆U； ②∁UA表示一个集合，且(∁UA)⊆U； ③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁UA＝{x|x∈U，且xA}． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数集问题的全集一定是R.(　　) (2)集合∁BC与∁AC相等．(　　) (3)A∩(∁UA)＝.(　　) (4)一个集合的补集中一定含有元素．(　　) 答案：　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，5}，则∁UM＝________． 解析：　因为全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，5}，所以∁UM＝{2，4，6}． 答案：　{2，4，6} 3．若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集∁UA＝________． 解析：　借助数轴易得∁UA＝{x∈R|0<x≤2}． 答案：　{x∈R|0<x≤2} 4．已知全集U＝{0，1，2}，且∁UA＝{2}，则A＝________． 解析：　∵U＝{0，1，2}，∁UA＝{2}， ∴A＝{0，1}． 答案：　{0，1} 探究点一　补集的基本运算 (1)已知全集为U，集合A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∁UB＝{1，4，6}，则集合B＝________； (2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________． 解析：　(1)方法一　∵A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}， ∴U＝A∪∁UA＝{1，2，3，4，5，6，7}． 又∁UB＝{1，4，6}， ∴B＝{2，3，5，7}． 方法二　根据条件作出满足题意的Venn图如图所示． 由图可知B＝{2，3，5，7}． (2)将全集U和集合A分别表示在数轴上，如图所示． 由补集的定义可知∁UA＝{x|x<－3，或x＝5}． 答案：　(1){2，3，5，7}　(2){x|x<－3，或x＝5} 求集合的补集的方法 (1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解． (2)Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集． (3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题．　　 [对点训练] 　已知集合A＝{x|－3≤x<5}，∁UA＝{x|x≥5}，B＝{x|1<x<3}，求∁UB. 解析：　由已知U＝A∪∁UA＝{x|－3≤x<5}∪{x|x≥5}＝{x|x≥－3}，又B＝{x|1<x<3}， 所以∁UB＝{x|－3≤x≤1，或x≥3}． 探究点二　交集、并集与补集的混合运算 (1)设全集U＝{－2，－1，0，1，2}，集合A＝{x|x2＋x－2＝0}，B＝{0，－2}，则B∩(∁UA)＝(　　) A．{0，1} B．{－2，0} C．{－1，－2} D．{0} (2)已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}，求∁UA，∁UB，(∁UA)∩(∁UB). 解析：　(1)由于A＝{x|x2＋x－2＝0}＝{－2，1}， 所以∁UA＝{－1，0，2}， 所以B∩(∁UA)＝{0}，故选D. (2)将集合U，A，B分别表示在数轴上，如图所示， 则∁UA＝{x|－1≤x≤3}； ∁UB＝{x|－5≤x<－1，或1≤x≤3}； (∁UA)∩(∁UB)＝{x|1≤x≤3}． 答案：　(1)D 交集、并集、补集的综合运算 (1)对于有限集，先把集合中的元素一一列举出来，再结合交集、并集、补集的定义求解，在解答过程中也常常借助于Venn图．这样处理问题，相对来说比较直观、形象，且不易出错． (2)对于连续的无限集，常借助于数