专题05 概念探究压轴题-备战2022年中考数学满分真题模拟题分类汇编（南京专用）

专题05 概念探究压轴题 1．（2021•南京）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？ （1）如图①，圆锥的母线长为，为母线的中点，点在底面圆周上，的长为．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点爬行到点的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）． （2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．是圆锥的顶点，点在圆柱的底面圆周上，设圆锥的母线长为，圆柱的高为． ①蚂蚁从点爬行到点的最短路径的长为 　　（用含，的代数式表示）． ②设的长为，点在母线上，．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点爬行到点的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路． 2．（2020•南京）如图①，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向同侧的、两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． （1）如图②，作出点关于的对称点，线段与直线的交点的位置即为所求，即在点处建燃气站，所得路线是最短的． 为了证明点的位置即为所求，不妨在直线上另外任取一点，连接、，证明．请完成这个证明． （2）如果在、两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）． ①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示； ②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示． 3．（2019•南京）【概念认识】 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点，和，，用以下方式定义两点间距离：． 【数学理解】 （1）①已知点，则　　． ②函数的图象如图①所示，是图象上一点，，则点的坐标是　　． （2）函数的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点，使． （3）函数的图象如图③所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标． 【问题解决】 （4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以为起点，先沿方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由） 4．（2018•南京）结果如此巧合 下面是小颖对一道题目的解答． 题目：如图，的内切圆与斜边相切于点，，，求的面积． 解：设的内切圆分别与、相切于点、，的长为． 根据切线长定理，得，，． 根据勾股定理，得． 整理，得． 所以 ． 小颖发现12恰好就是，即的面积等于与的积．这仅仅是巧合吗？ 请你帮她完成下面的探索． 已知：的内切圆与相切于点，，． 可以一般化吗？ （1）若，求证：的面积等于． 倒过来思考呢？ （2）若，求证． 改变一下条件 （3）若，用、表示的面积． 5．（2017•南京）折纸的思考． 【操作体验】 用一张矩形纸片折等边三角形． 第一步，对折矩形纸片（图①，使与重合，得到折痕，把纸片展平（图②． 第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点落在上的处，并使折痕经过点，得到折痕，折出、，得到． （1）说明是等边三角形． 【数学思考】 （2）如图④，小明画出了图③的矩形和等边三角形．他发现，在矩形中把经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程． （3）已知矩形一边长为，另一边长为，对于每一个确定的的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的的取值范围． 【问题解决】 （4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为和的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为　　． 6．（2021•玄武区一模）八上教材给出了命题“如果△，，分别是和△的高，那么”的证明，由此进一步思考 【问题提出】 （1）在和△中，，分别是和△的高，如果，，，那么与△全等吗？ （ⅰ）小红的思考 如图，先任意画出一个，然后按下列作法，作出一个满足条件的△，作法如下： ①作的外接圆； ②过点作，与交于点； ③连接（点与重合），（点与重合），得到△． 请说明小红所作的△． （ⅱ）小明的思考 如图，对于满足条件的，△和高，；小明将△通过图形的变换，使边与重合，，相交于点，连接，易证． 接下来，小明的证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． 【拓展延伸】 （2）小明解决了问题（1）后，继续探索，提出了下面的问题，请你证明． 如图，在和△中，，分别是和△的高，，且，，求证△． 7．（2021•鼓楼区一模）【问题提出】为了保持室内空气的清新，某仓库的自动换气窗采用了以下设计： 如图①，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形和一个组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口是一个矩形形状的联动装置，顶点、只能在边框上滑动，顶点、可在其它边框上滑动，联动装置的四边都是长度可自动伸缩的金属杆，当金属杆上