2.4曲线与方程（新课讲义）2021-2022学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

2.4曲线方程（新课） 知识梳理 曲线方程的定义 在直角坐标系中，如果曲线上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系： （1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程上的解为坐标的点都在曲线上； 那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。 求轨迹方程的基本流程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1．五种轨迹方程求法： （1）直接法：当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法； （2）定义法：当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法； （3）代入法（相关点法）：当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法； （4）消参法：求动点轨迹方程时借助中间参量得到横纵坐标关系，进一步得到方程； （5）交轨法：求两条动曲线交点轨迹方程时可由方程直接消去参数，得到轨迹方程。 2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 典例解析 考点一：曲线的方程 例1．下列点在曲线上的是（ ） A． B． C． D． 变式1．“点M在曲线上”是“点M的坐标满足方程”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2．若曲线经过点和，则________，________. 考点二：方程的曲线 例2．方程的曲线是（ ） A． B． C． D． 变式1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是(　　) A．一条直线和一条双曲线 B．两条双曲线 C．两个点 D．以上答案都不对 变式2．方程（3x-y+1）（y-）=0表示的曲线为（　　） A．一条线段和半个圆 B．一条线段和一个圆 C．一条线段和半个椭圆 D．两条线段 例3．已知直线l的方程是，点不在直线l上，则方程表示的曲线是（ ） A．直线l B．与l垂直的一条直线 C．与l平行的一条直线 D．与l平行的两条直线 变式1．已知圆C的方程为，点在圆外，点在圆上，则表示的曲线是（ ） A．