5.1 任意角与弧度制-2021-2022学年高一数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（湘教版2019必修第一册）

第5章 三角函数 5.1 任意角与弧度制 学习导航 1、 了解任意角的概念，区分正角、负角与零角。 2、 .了解象限角的概念。 3、 .理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合。 4、 了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系。 5、 .理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数。 教学过程 一、任意角 1．角的概念： 角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． 2．角的表示： 如图所示：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：OA，终边：OB，顶点O. 3．角的分类： 名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 4、象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 5、终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 例题1 1．下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为；⑥若，则是第四象限角．其中正确的题的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】 结合象限角和任意角的概念逐个判断即可. 【详解】 对于①：钝角是大于小于的角，显然钝角是第二象限角. 故①正确； 对于②：锐角是大于小于的角，小于的角也可能是负角. 故②错误； 对于③：显然是第一象限角. 故③错误； 对于④：是第二象限角，是第一象限角，但是. 故④错误； 对于⑤：时针转过的角是负角. 故⑤错误； 对于⑥：因为，所以，是第四象限角. 故⑥正确. 综上，①⑥正确. 故选：B. 2、 角的加法与减法 设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角． (1)α＋β：把角α的终边旋转角β. (2)α－β：α－β＝α＋(－β)． 例题2 2．若角与角的终边相同,角与角的终边相同,则与之间的关系是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由终边相同的角可写出，，相减，即可求解. 【详解】 由题意可知,,, 所以, 记,故. 故选：D 三、弧度制 1、　度量角的两种制度 角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制 1度的角 1度的角等于周角的 弧度制 定义 以弧度作为单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角 2、弧度数的计算 3、角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 4、弧度制下的弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝αR. (2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2. 例题3 3．将转化为弧度为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 将角度转化为弧度只需将角度的数值乘以即可； 【详解】 解： 故选：D 例题4 4．已知某扇形的圆心角为80°，半径为6 cm，则该圆心角对应的弧长为 A．480 cm B．240 cm C． D． 【答案】C 【分析】 先把80°化为弧度，然后用弧长公式求解即可 【详解】 解：80°=×80=， 又r=6 cm，故弧长l=αr=×6=(cm). 故选：C 课时训练 1．时间经过5小时，时针转过的弧度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据时针每转过一个小时，其转过的度数为，故可得时针转过的弧度数． 【详解】 时针每过一个小时，其转过的度数为，故时间经过5小时，时针转过的弧度数. 故选：A． 2．设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 根据扇形的周长为，面积为，得到，解得l，r，代入公式求解. 【详解】 因为扇形的周长为，面积为， 所以， 解得 ， 所以， 所以扇形的圆心角的弧度数是2 故选：B 3．下列转化结果错误的是（ ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．化成角度是 【答案】C 【分析】 根据弧度与角度的转化,化简即可判断