【江苏专用】2013版数学《步步高大一轮复习讲义》多媒体数字教学【word版课时导学案】第4章 三角函数与三角恒等变换（6份打包）

学案18　三角函数的图象与性质 导学目标： 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性． 自主梳理 1．周期函数 (1)周期函数的定义 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定域内的每一个x值，都满足__________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数____叫做这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个________________，那么这个________________就叫做f(x)的最小正周期． 2．三角函数的图象和性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 在______________上增，在______________上减 在_____________上增， 在_____________上减 在定义域的每一个区间____________________内是增函数 对称性 对称中心 (kπ，0) (k∈Z) (kπ＋，0) (k∈Z) (，0) (k∈Z) 对称轴 x＝kπ＋， (k∈Z) x＝kπ， (k∈Z) 无 自我检测 1．设点P是函数f(x)＝sin ωx(ω≠0)的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是，则f(x)的最小正周期是________． 2．函数y＝3－2cos(x－)的最大值为________，此时x＝________. 3．函数y＝tan(－x)的定义域是________． 4．比较大小：sin(－)． )________sin(－ 5．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为________． 探究点一　求三角函数的定义域 例1　求函数y＝ ＋的定义域． 变式迁移1　函数y＝＋lg(2sin x－1)的定义域为________________________． 探究点二　三角函数的单调性 例2　求函数y＝2sin的单调区间． 变式迁移2　(1)求函数y＝sin，x∈[－π，π]的单调递减区间； (2)求函数y＝3tan的周期及单调区间． 探究点三　三角函数的值域与最值 例3　已知函数f(x)＝2asin(2x－]，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值． )＋b的定义域为[0， 变式迁移3　设函数f(x)＝acos x＋b的最大值是1，最小值是－3，试确定g(x)＝bsin(ax＋)的周期． 转化与化归思想 例　(14分)求下列函数的值域： (1)y＝－2sin2x＋2cos x＋2； (2)y＝3cos x－]； sin x，x∈[0， (3)y＝sin x＋cos x＋sin xcos x. 【答题模板】 解　(1)y＝－2sin2x＋2cos x＋2＝2cos2x＋2cos x ＝2(cos x＋，cos x∈[－1,1]．)2－ 当cos x＝1时，ymax＝4，当cos x＝－，时，ymin＝－ 故函数值域为[－，4]．[4分] (2)y＝3cos x－)． cos(x＋sin x＝2 ∵x∈[0，]上单调递减，，，∵y＝cos x在[≤≤x＋]，∴ ∴－，3]．[9分]≤y≤3，故函数值域为[－，∴－)≤≤cos(x＋ (3)令t＝sin x＋cos x，则sin xcos x＝.，且|t|≤ ∴y＝t＋(t＋1)2－1，∴当t＝－1时，ymin＝－1；＝ 当t＝.＋时，ymax＝ ∴函数值域为[－1，]．[14分]＋ 【突破思维障碍】　 1．对于形如f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈[a，b]的函数在求值域时，需先确定ωx＋φ的范围，再求值域．同时，对于形如y＝asin ωx＋bcos ωx＋c的函数，可借助辅助角公式，将函数化为y＝sin(ωx＋φ)＋c的形式，从而求得函数的最值． 2．关于y＝acos2x＋bcos x＋c(或y＝asin2x＋bsin x＋c)型或可化为此型的函数求值域，一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题． 给你提个醒！不论用什么方法，切忌忽略函数的定义域． 1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是研究三角问题的基础，三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实质上就是解最简单的三角不等式(组)． 2．三角函数的值域问题，实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题． 3．函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看