专题17 圆过定点模型-2022年高考数学之解密圆锥曲线命题点对点突破（全国通用）

专题17　圆过定点模型 【方法总结】 1．圆过定点问题的一般设问方式 (1)证明以PQ为直径的圆恒过x或y轴上某定点M(m，0)或M(0，n)； (2)证明以PQ为直径的圆恒过定点M(m，n)； (3)证明以PQ为直径的圆恒过定点M(m，n)； (4)以PQ为直径的圆是否恒过定点M？若是，求出该定点M的坐标；若不是，请说明理由． 2．圆过定点问题的一般解法 (1)向量法：基本思想是根据直径所对的圆周角是直角，即·＝0．这是解决圆过定点的主要方法． 一般步骤：①设出M(m，n)及相关点的坐标或相关直线的方程； ②根据题设条件求出点P与点Q的坐标，P(A(t)，B(t))，Q(C(t)，D(t))； ③求出与的坐标，并根据·＝0，建立方程f(m，n，t)＝0，并整理成tf(m，n)＋g(m，n)＝0； ④根据圆过定点时与参数没有关系(即方程对参数t的任意值都成立)，得到方程组 ⑤以方程组的解为坐标的点就是圆所过的定点． (2)方程法：基本思想是根据已知条件求出圆的方程，即f(x，y，k)＝0．这种方法用的很少． 一般步骤：①设出相关点的坐标或相关直线的方程； ②根据题设条件求出点P与点Q的坐标，P(A(t)，B(t))，Q(C(t)，D(t))； ③求出圆的方程f(x，y，t)＝0，并整理成tf(x，y)＋g(x，y)＝0； ④根据圆过定点时与参数没有关系(即方程对参数t的任意值都成立)，得到方程组 ⑤以方程组的解为坐标的点就是圆所过的定点． (3)赋值法：基本思想是从特殊到一般，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 【例题选讲】 [例1]　(2019·北京)已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)． (1)求抛物线C的方程及其准线方程； (2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点． [规范解答]　(1)由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)，得p＝2． 所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1． (2)向量法 抛物线C的焦点为F(0，－1)，设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)． 由得x2＋4kx－4＝0． 设M，N，则x1x2＝－4． 直线OM的方程为y＝x．令y＝－1，得点A的横坐标xA＝－． 同理得点B的横坐标xB＝－．设点D(0，n)， 则＝，＝， ·＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝－4＋(n＋1)2． 令·＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，则n＝1或n＝－3． 综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0，1)和(0，－3)． [例2]　已知椭圆＋＝1(a>b>0)过点Q(1，)，且离心率e＝． (1)求椭圆C的方程； (2)椭圆C长轴两端点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的动点，直线l：x＝4与直线PA，PB分别交于M，N两点，又点E(7，0)，过E，M，N三点的圆是否过x轴上不同于点E的定点？若经过，求出定点坐标；若不存在，请说明理由． [规范解答]　(1)由，解得a2＝4，b2＝3，故椭圆C的方程为：＋＝1． (2)向量法 设点P(x0，y0)，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，由椭圆的第三定义知k1k2＝e2－1＝－， 又PA：y＝k1(x＋2)，令x＝4，得M(4，6k1)， 同理：PB：y＝k2(x－2)，令x＝4，得N(4，2k2)， 则kEMkEN＝(－)(－)＝－1，过E，M，N三点的圆的直径为MN． 设圆过定点R(m，0)，则·＝0，因为＝(4－m，6k1)，＝(4－m，2k2)． 所以·＝(4－m)2＋12k1k2＝0，即(4－m)2＝9，解得m＝1或m＝7 (舍)． 故经过E，M，N三点的圆是以MN为直径，过x轴上不同于点E的定点R(1，0)． [例3]　已知A(－2，0)，B(2，0)，点C是动点且直线AC和直线BC的斜率之积为－． (1)求动点C的轨迹方程； (2)设直线l与(1)中轨迹相切于点P，与直线x＝4相交于点Q，判断以PQ为直径的圆是否过x轴上一定点． [规范解答]　(1)设C(x，y)．由题意得kAC·kBC＝·＝－(y≠0)．整理，得＋＝1(y≠0)． 故动点C的轨迹方程为＋＝1(y≠0)． (2)方法一：向量法 易知直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx＋m． 联立方程组消去y并整理，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0． 依题意得Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，即3＋4k2＝m2． 设x1，x2为方程(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0的两个根，则x1＋x2＝，所以x1＝x2＝． 所以P，即P． 又Q(4，4k＋m)，设R(t，0)为以