专题16 已知核心方程(隐性)和未知核心方程直线过定点模型-2022年高考数学之解密圆锥曲线命题点对点突破（全国通用）

专题16　已知核心方程(隐性)和未知核心方程直线过定点模型 题型一　已知核心方程(隐性) 先将隐性核心方程等价地转化为显性核心方程． 【方法总结】 (1)单参数法：设动直线PM方程为y＝k(x－x0)＋y0，联立直线与椭圆(抛物线)，解出点M的坐标为(A(k)，B(k))，同理(由核心方程代换)，得出点N的坐标为(C(k)，D(k))，然后写出动直线MN方程，即kf(x，y)＋g(x，y)＝0，根据直线过定点时与参数没有关系(即方程对参数的任意值都成立)，得到方程组以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点． (2)双参数法：设动直线MN方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由核心方程得到f(k，t)＝0，把t用k表示或把k用t表示，即kf(x，y)＋g(x，y)＝0(或tf(x，y)＋g(x，y)＝0)，根据直线过定点时与参数没有关系(即方程对参数的任意值都成立)，得到方程组以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点． 【例题选讲】 [例1]　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F(，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设不经过点B(0，1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明直线l过定点，并求出该定点的坐标． [规范解答]　(1)由题意得，c＝，＝2，a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝1， ∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1． (2)双参数法 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 联立消去y，可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0．∴Δ＝16(4k2＋1－m2)>0， x1＋x2＝，x1x2＝．∵点B在以线段MN为直径的圆上，∴·＝0． 则·＝(x1，kx1＋m－1)·(x2，kx2＋m－1)＝(k2＋1)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)2＝0， ∴(k2＋1)＋k(m－1)＋(m－1)2＝0，整理，得5m2－2m－3＝0，解得m＝－或m＝1(舍去)． ∴直线l的方程为y＝kx－．易知当直线l的斜率不存在时，不符合题意． 故直线l过定点，且该定点的坐标为． [例2]　已知椭圆O：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆O上运动，若△PAB面积的最大值为2，椭圆O的离心率为． (1)求椭圆O的标准方程； (2)过B点作圆E：x2＋(y－2)2＝r2(0<r<2)的两条切线，分别与椭圆O交于两点C，D(异于点B)，当r变化时，直线CD是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． [规范解答]　(1)由题可知当点P在椭圆O的上顶点(或下顶点)时，S△PAB最大， 此时S△PAB＝×2ab＝ab＝2，∴⇒a＝2，b＝，c＝1， ∴椭圆O的标准方程为＋＝1． (2)单参数法 设过点B(2，0)与圆E相切的直线方程为y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0， ∵直线与圆E：x2＋(y－2)2＝r2相切，∴d＝＝r，即(4－r2)k2＋8k＋4－r2＝0． 设两切线的斜率分别为k1，k2(k1≠k2)，则k1k2＝1， 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由⇒(3＋4k)x2－16kx＋16k－12＝0， ∴2x1＝，即x1＝，∴y1＝； 同理，x2＝＝，y2＝＝； ∴kCD＝＝＝． ∴直线CD的方程为y＋＝， 整理得y＝x－＝(x－14)．∴直线CD恒过定点(14，0)． 【对点训练】 1．椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左、右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标． 2．如图所示，已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的四个顶点构成边长为5的菱形，原点O到直线AB的距 离为，其中A(0，a)，B(－b，0)．直线l：x＝my＋n与椭圆M相交于C，D两点，且以CD为直径的圆过椭圆的右顶点P(其中点C，D与点P不重合)． (1)求椭圆M的方程； (2)证明：直线l与x轴交于定点，并求出定点的坐标． 3．如图，已知直线l：y＝kx＋1(k>0)关于直线y＝x＋1对称的直线为l1，直线l，l1与椭圆E：＋y2＝1分 别交于点A，M和A，N，记直线l1的斜率为k1． (1)求k·k1的值； (2)当k变化时，试问直线MN是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由． 题型二　未知核心方程 【方法总结】 单参数法：设出动点可动直线的方程为，解出点M的坐标为(A(k)，B(k))，解出点N的坐标为(C(k)，D(k))，然后写出动直线MN方程，即kf(x，y)＋g(x，