专题15 已知核心方程(显性)之直线过定点模型-2022年高考数学之解密圆锥曲线命题点对点突破（全国通用）

专题15　已知核心方程(显性)之直线过定点模型 定点问题——确定方程 定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题．证明直线(曲线)过定点的基本思想是是确定方程，即使用一个参数表示直线(曲线)方程，根据方程的成立与参数值无关得出x，y的方程组，以方程组的解为坐标的点就是直线(曲线)所过的定点．核心方程是指已知条件中的等量关系． 【方法总结】 (1)单参数法 ①设动直线PM方程为y＝k(x－x0)＋y0； ②联立直线与椭圆(抛物线)，解出点M的坐标为(A(k)，B(k))，同理(由核心方程代换)，得出点N的坐标为(C(k)，D(k))； ③写出动直线MN方程，并整理成kf(x，y)＋g(x，y)＝0； ④根据直线过定点时与参数没有关系(即方程对参数的任意值都成立)，得到方程组 ⑤方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点． (2)双参数法 ①设动直线MN方程(斜率存在)为y＝kx＋t； ②由核心方程得到f(k，t)＝0(常用韦达定理)； ③把t用k表示或把k用t表示，即kf(x，y)＋g(x，y)＝0(或tf(x，y)＋g(x，y)＝0)； ④根据直线过定点时与参数没有关系(即方程对参数的任意值都成立)，得到方程组 ⑤方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点． 【例题选讲】 [例1]　如图所示，设椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，中心为O，若椭圆M过点P，且AP⊥OP． (1)求椭圆M的方程； (2)若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值； (3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2＝1，求证：直线DE过定点． [规范解答]　(1)由AP⊥OP，可知kAP·kOP＝－1．又点A的坐标为(－a，0)， 所以·＝－1，解得a＝1．又因为椭圆M过点P，所以＋＝1，解得b2＝， 所以椭圆M的方程为x2＋＝1． (2)由题意易求直线AP的方程为＝，即x－y＋1＝0． 因为点Q在椭圆M上，故可设Q，又|AP|＝， 所以S△APQ＝××＝× cos＋1． 当θ＋＝2kπ(k∈Z)，即θ＝2kπ－(k∈Z)时，S△APQ取得最大值＋． (3)法一：单参数法 由题意易得，直线AD的方程为y＝k1(x＋1)，代入x2＋3y2＝1，消去y， 得(3k＋1)x2＋6kx＋3k－1＝0．设D(xD，yD)，则(－1)·xD＝， 即xD＝，yD＝k1＝． 设E(xE，yE)，同理可得xE＝，yE＝．又k1k2＝1且k1≠k2，可得k2＝且k1≠±1， 所以xE＝，yE＝，所以kDE＝＝＝， 故直线DE的方程为y－＝． 令y＝0，可得x＝－＝－2．故直线DE过定点(－2，0)． 法二：双参数法 设D(xD，yD)，E(xE，yE)．若直线DE垂直于y轴，则xE＝－xD，yE＝yD， 此时k1k2＝·＝＝＝与题设矛盾， 若DE不垂直于y轴，可设直线DE的方程为x＝ty＋s，将其代入x2＋3y2＝1，消去x， 得(t2＋3)y2＋2tsy＋s2－1＝0，则yD＋yE＝，yDyE＝． 又k1k2＝·＝＝1， 可得(t2－1)yDyE＋t(s＋1)(yD＋yE)＋(s＋1)2＝0，所以(t2－1)·＋t(s＋1)·＋(s＋1)2＝0， 可得s＝－2或s＝－1．又DE不过点A，即s≠－1，所以s＝－2． 所以DE的方程为x＝ty－2．故直线DE过定点(－2，0)． [例2]　已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个焦点恰好与抛物线y2＝4x的焦点重合． (1)求椭圆C的方程； (2)设椭圆的上顶点为A，过点A作椭圆C的两条动弦AB，AC，若直线AB，AC斜率之积为，直线BC是否恒过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． [规范解答]　(1)由题意知椭圆的一个焦点为F(1，0)，则c＝1．由e＝＝得a＝，∴b＝1， ∴椭圆C的方程为＋y2＝1． (2)双参数法 由(1)知A(0，1)，当直线BC的斜率不存在时，设BC：x＝x0，设B(x0，y0)，则C(x0，－y0)， kAB·kAC＝·＝＝＝≠，不合题意．故直线BC的斜率存在． 设直线BC的方程为：y＝kx＋m(m≠1)，并代入椭圆方程，得： (1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－1)＝0，① 由Δ＝(4km)2－8(1＋2k2)(m2－1)>0，得2k2－m2＋1>0．② 设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两根，由根与系数的关系得， x1＋x2＝－，x1x2＝，由kAB·kAC＝·＝得：4y1y2－4(y1＋y2)＋4＝x1x2， 即(4k2－1)x1x2＋4k(m－1)(x1＋x2)＋4(m－1)2＝0， 整理得(m－1)(m－3