专题14 双曲线标准方程(轨迹)的模型-2022年高考数学之解密圆锥曲线命题点对点突破（全国通用）

专题14　双曲线标准方程(轨迹)的模型 3．双曲线标准方程的模型 【例题选讲】 [例3]　(11)(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　) A．－＝1　　　　　B．－＝1　　　　　C．－＝1　　　　　D．－＝1 答案　B　解析　由y＝x可得＝，①．由椭圆＋＝1的焦点为(3，0)，(－3，0)，可得a2＋b2＝9，②．由①②可得a2＝4，b2＝5．所以C的方程为－＝1．故选B． (12)(2016·天津)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为(　　) A．－y2＝1　　　　B．x2－＝1　　　　C．－＝1　　　　D．－＝1 答案　A　解析　依题意得＝，①，又a2＋b2＝c2＝5，②，联立①②得a＝2，b＝1．∴所求双曲线的方程为－y2＝1． (13) (2018·天津)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　) A．－＝1　　　　　B．－＝1　　　　　C．－＝1　　　　　D．－＝1 答案　C　解析　因为双曲线的离心率为2，所以＝2，c＝2a，b＝a，不妨令A(2a,3a)，B(2a，－3a)，双曲线其中一条渐近线方程为y＝x，所以d1＝＝，d2＝＝；依题意得：＋＝6，解得：a＝，b＝3，所以双曲线方程为：－＝1． (14)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(　　) A．－＝1 　　　　　B．－＝1　　　　　C．－y2＝1　　　　　D．x2－＝1 答案　D　解析　根据题意画出草图如图所示. 由△AOF是边长为2的等边三角形得到∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2．又点A在双曲线的渐近线y＝x上，∴＝tan 60°＝．又a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝，∴双曲线的方程为x2－＝1，故选D (15)已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为(　　) A．－＝1　　　　B．－＝1　　　　C．－＝1　　　　D．－＝1 答案　D　解析　根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝x，x2＋y2＝4得xA＝，yA＝，故四边形ABCD的面积为4xAyA＝＝2b，解得b2＝12，故所求的双曲线方程为－＝1，选D． (16)已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为，则的方程式为(　　) A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 答案　B　解析　设双曲线方程为，，由得，，，，，所以． 【对点训练】 20．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为4，渐近线方程为2x±y＝0，则双曲线的方程为(　　) A．－＝1　　　　B．－＝1　　　　C．－＝1　　　　D．－＝1 21．(2017·天津)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为．若经过F和P(0，4)两点的 直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为(　　) A．－＝1　　　　B．－＝1　　　　C．－＝1　　　　D．－＝1 22．已知双曲线M：－＝1(a>0，b>0)与抛物线y＝x2有公共焦点F，F到M的一条渐近线的距离为， 则双曲线方程为(　　) A．y2－＝1　　　　B．－y2＝1　　　　C．－＝1　　　　D．－＝1 23．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1，F2为直径的圆与双曲线渐近线 的一个交点为，则双曲线的方程为(　　) A．－＝1　　　　　B．－＝1　　　　　C．－＝1　　　　　D．－＝1 24．已知双曲线C：－＝1的一条渐近线l的倾斜角为，且C的一个焦点到l的距离为，则双曲线 C的方程为(　　) A．－＝1　　　　　　B．－＝1　　　　　　C．－y2＝1　　　　　　D．x2－＝1 25．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(，)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等 边三角形，则双曲线C的标准方程是(　　) A．－y2＝1　　　　　B．－＝1　　　　　C．x2－＝1 　　　　D．－＝1 26．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C 的右支交于点A，若＝2，且||＝4，则双曲线C的方程为(　　) A．－＝1　　　　B．－＝1