专题13 椭圆(抛物线)的标准方程模型-2022年高考数学之解密圆锥曲线命题点对点突破（全国通用）

专题13　椭圆(抛物线)的标准方程模型 求解圆锥曲线标准方程的方法 (1)定型，即指定类型，也就是确定圆锥曲线的类型、焦点位置，从而设出标准方程． (2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p．另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2px或x2＝2py(p≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn>0)． 1．椭圆的标准方程 【例题选讲】 [例1]　(1)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆C的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C的标准方程为(　　) A．＋＝1　　　　　B．＋＝1　　　　　C．＋y2＝1　　　　　D．＋＝1 答案　D　解析　依题意椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为得＝，椭圆C的长轴长与焦距之和为6,2a＋2c＝6，解得a＝2，c＝1，则b＝，所以椭圆C的标准方程为：＋＝1，故选D． (2)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为(　　) A．＋＝1　　　　B．＋＝1　　　　C．＋＝1　　　　D．＋＝1 答案　A　解析　设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由点P(2，)在椭圆上，知＋＝1．又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，则＝.又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6，故椭圆的方程为＋＝1． (3)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为(　　) A．＋＝1　　　　B．＋＝1　　　　C．＋＝1　　　　D．＋＝1 答案　C　解析　由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝＝＝8，由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，从而a＝7，a2＝49，于是b2＝a2－c2＝49－52＝24，∴椭圆C的方程为＋＝1，故选C. (4) (2013·全国Ⅰ)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为(　　) A．＋＝1　　　　B．＋＝1　　　　C．＋＝1　　　　D．＋＝1 答案　D　解析　由题意知直线AB的斜率k＝＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①－②整理得＝－·，即k＝－×＝，∴＝．又a2－b2＝c2＝9，∴a2＝18，b2＝9．∴椭圆E的方程为＋＝1． (5)(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　) A．＋y2＝1　　　　　B．＋＝1　　　　　C．＋＝1 　　　　　D．＋＝1 答案　B　解析　解法一　由题意设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m．由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sinθ＝．在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝＝，所以＝1－2，得a2＝3．又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1．故选B． 解法二　设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆的定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a．∵|AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝|BF1|＝|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a．又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF1|＝|AF2|＝a，∴点A是椭圆的短轴端点，如图．不妨设A(0，－b)，由F2(1，0)，＝2，得B．由点B在椭圆上，得＋＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2．∴椭圆C的方程为＋＝1．故选B． (6)设F1，F2分别是椭圆E：(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为__________． 答案　　解析　设B在x轴上的射影为B0，由题意得，，得B0坐标为，即B点横坐标为．设直线AB的斜率为k，又直线过点F1(－c，0)，∴直线AB的方程为y＝k(x＋c)．由得(k2＋b2)x2＋2ck2x＋k2c2－b2＝0，其两根为和c，由韦达定理得解之，得，∴b2＝1－．∴椭圆方程为． 【对