专题12 范围问题模型-2022年高考数学之解密圆锥曲线命题点对点突破（全国通用）

专题12　范围问题模型 圆锥曲线中范围问题求解的基本思路 解决有关范围问题的基本思路是建立目标函数或不等关系： 建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围； 建立不等关系时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系． 圆锥曲线中范围问题建立不等关系的基本方法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． 1．用函数思想解决的模型 【例题选讲】 [例1]　(1)若点O和点F(－2，0)分别为双曲线－y2＝1(a＞0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为________． 答案　[3＋2，＋∞)　解析　由题意，得22＝a2＋1，即a＝，设P(x，y)，x≥，＝(x＋2，y)，则·＝(x＋2)x＋y2＝x2＋2x＋－1＝－，因为x≥，所以·的取值范围为[3＋2，＋∞)． (2)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，以F2为圆心作半径为1的圆F2，P为椭圆C上一点，Q为圆F2上一点，则|PF1|＋|PQ|的取值范围为________． 答案　[5，7]　解析　如图所示，|PF1|＋|PQ|＝2a－|PF2|＋|PQ|≤2a＋|QF2|＝6＋1＝7．又|PF1|＋|PQ|≥|PF1|＋|PF2|－|QF2|＝6－1＝5．∴|PF1|＋|PQ|的取值范围是[5，7]．故答案为：[5，7]． (3)在椭圆＋＝1上任意一点P，Q与P关于x轴对称，若有·≤1，则与的夹角余弦值的范围为________． 答案　　解析　设P(x，y)，则Q点(x，－y)，椭圆＋＝1的焦点坐标为(－，0)，(，0)，∵·≤1，∴x2－2＋y2≤1，结合＋＝1，可得y2∈[1,2]．故与的夹角θ满足：cos θ＝＝＝＝－3＋∈． 【对点训练】 1．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，如果|PF1|＝t|PF2|(t∈(1， 3])，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是______________． 2．已知过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若R为线段PQ的中点，连接OR 并延长交抛物线C于点S，则的取值范围是(　　) A．(0，2)　　　　　B．[2，＋∞)　　　　　C．(0，2]　　　　　D．(2，＋∞) 3．已知椭圆C：＋y2＝1，P(a，0)为x轴上一动点．若存在以点P为圆心的圆O，使得椭圆C与圆O有 四个不同的公共点，则a的取值范围是________． 2．用建立不等关系解决的的模型 【例题选讲】 [例2]　(4)已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0<＋y<1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________． 答案　[2，2)　解析　由点P(x0，y0)满足0<＋y<1，可知P(x0，y0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a＝，b＝1，所以由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|<2a＝2，又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|＝2，故|PF1|＋|PF2|的取值范围是[2，2)． (5)已知直线l：y＝kx＋t与圆C1：x2＋(y＋1)2＝2相交于A，B两点，且△C1AB的面积取得最大值，又直线l与抛物线C2：x2＝2y相交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是______________． 答案　(－∞，－4)∪(0，＋∞)　解析　根据题意得到△C1AB的面积为r2sin θ，当角度为直角时面积最大，此时△C1AB为等腰直角三角形，则圆心到直线的距离为d＝1，根据点到直线的距离公式得到＝1⇒1＋k2＝(1＋t)2⇒k2＝t2＋2t，直线l与抛物线C2：x2＝2y相交于不同的两点M，N，联立直线和抛物线方程得到x2－2kx－2t＝0 ，只需要此方程有两个不等根即可，Δ＝4k2＋8t＝4t2＋16t>0 ，解得t的取值范围为(－∞，－4)∪(0，＋∞)． (6)过抛物线y2＝x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角θ≥，点A在x轴上方，则|FA|的取值范围是(　　) A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 答案　D　解析　记点A的横坐标是x1，则有|AF|＝x1＋＝＋＝＋|AF|cos θ，|AF|(1－cos θ)＝，|AF|＝．由≤θ<π得－1<cos θ≤，2－≤2(1－cos θ)<4，<≤＝1