专题07 双曲线模型-2022年高考数学之解密圆锥曲线命题点对点突破（全国通用）

专题07　双曲线模型 双曲线线秒杀小题常用结论 (1)双曲线定义：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)．如图(10) 图(10)　　　　　　　 　　 　　图(11)　　　　　　　 　　　　图(12) (2)如图(11)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b．与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)． (3)如图(12)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a； (4)如图(13)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝b2，其中θ为∠F1PF2． 　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　图(13)　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　图(14)　 (5)如图(14)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线y＝±x的斜率k＝±与离心率e的关系：e＝＝． (6)若P是双曲线右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a； (7)如图(15)设P，A，B是双曲线－＝1(a＞b＞0)上不同的三点，其中A，B关于原点对称，则kPA·kPB＝＝e2－1． 　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　图(15)　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　图(16)　 (8)如图(16)设A，B是双曲线－＝1(a＞b＞0)上不同的两点，P为弦AB的中点，则kAB·kOP＝＝e2－1． 【例题选讲】 [例2]　(9)过点P(2，1)作直线l，使l与双曲线－y2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l共有(　　) A．1条　　　　　　　　B．2条　　　　　　　　C．3条　　　　　　　　D．4条 答案　B　解析　依题意，双曲线的渐近线方程是y＝±x，点P在直线y＝x上．①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时直线l与双曲线有且仅有一个公共点(2,0)，满足题意．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即y＝kx＋1－2k，由消去y得x2－4(kx＋1－2k)2＝4，即(1－4k2)x2－8(1－2k)kx－4(1－2k)2－4＝0，(*)．若1－4k2＝0，则k＝±，当k＝时，方程(*)无实数解，因此k＝不满足题意；当k＝－时，方程(*)有唯一实数解，因此k＝－满足题意．若1－4k2≠0，即k≠±，此时Δ＝64k2(1－2k)2＋16(1－4k2)[(1－2k)2＋1]＝0不成立，因此满足题意的实数k不存在．综上所述，满足题意的直线l共有2条． (10)(2018·全国Ⅱ)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　) A．y＝±x　　　　B．y＝±x　　　　C．y＝±x　　　　D．y＝±x 答案　A　解析　法一：由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，所以＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选A． 法二：由e＝＝＝，得＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选A． (11)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO交双曲线C左支于点M，直线PF2交双曲线C右支于点N，若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的渐近线方程为(　　) A．y＝±x　　　　　　B．y＝±x　　　　　　C．y＝±2x　　　　　　D．y＝±2x 答案　A　解析　由题意得，|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，由于P，M关于原点对称，F1，F2关于原点对称，∴线段PM，F1F2互相平分，四边形PF1MF2为平行四边形，PF1∥MF2，∵∠MF2N＝60°，∴∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得4c2＝16a2＋4a2－2·4a·2a·cos60°，∴c＝a，∴b＝＝a．∴＝，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x．故选A． (12)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在双曲线的右支上，若|AN|－|BN|＝12，则a＝(　　) A．3　　　　　　　　B．4　　　　　　　　C．5　　　　　　　　D．6 答案　A　解析　如图，设MN的中点为P．∵F1为MA的中点，F2为MB的中点，∴|AN|＝2|PF1|，|BN|＝2|PF2|，又|AN|－|BN|＝12，∴|PF1|－|PF2|＝6＝2a，∴a＝3．故选A． (13)(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OM