专题06 椭圆模型-2022年高考数学之解密圆锥曲线命题点对点突破（全国通用）

专题06　椭圆模型 椭圆秒杀小题常用结论 (1)椭圆定义：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)．如图(1) 　 　　图(1)　　　　　　　　　图(2)　　　　　　　　　图(3)　　　　　 　　　图(4) (2)点P(x0，y0)和椭圆＋＝1(a＞b＞0)的关系 P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1；P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1；P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1． (3)如图(5)，椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为|AB|＝，通径是最短的焦点弦．过焦点最长弦为长轴．过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b． 　　　　　　　　　　 图(5)　　　　　　　　　　　　　图(6)　　　　　　　　 　　　　　图(7) (4)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中如图(6)： ①△PF1F2的周长为2(a＋c)．②S＝b2tan． (5)如图(7)P为椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的动点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，当椭圆上点P在短轴端点时与两焦点连线的夹角最大． (6)P为椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则P到焦点的最长距离为a＋c，最短距离为a－c． (7)如图(8)设P，A，B是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上不同的三点，其中A，B关于原点对称，则kPA·kPB＝－＝e2－1． 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　图(8)　　　　　　　　　　　　　　　图(9) (8)如图(9)设A，B是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上不同的两点，P为弦AB的中点，则kAB·kOP＝－＝e2－1． 【例题选讲】 [例1]　(1)(2019·全国Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为____________． 答案　(3，)　解析　设F1为椭圆的左焦点，分析可知M在以F1为圆心、焦距为半径长的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．因为点M在椭圆＋＝1上，所以联立方程可得解得又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，)． (2)已知椭圆E：＋＝1，直线l交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为，则l的方程为(　　) A．2x＋9y－10＝0　　　B．2x－9y－10＝0　　　C．2x＋9y＋10＝0　　　D．2x－9y＋10＝0 答案　D　解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式作差并化简整理得＝－×，而x1＋x2＝－1，y1＋y2＝2，所以＝－×＝，直线l的方程为y－1＝，即2x－9y＋10＝0.经验证可知符合题意．故选D． (3)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2，上下顶点分别为A、B，直线AF2与该椭圆交于A、M两点．若∠F1AF2＝120°，则直线BM的斜率为(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 答案　B　解析　由题意，椭圆＋＝1(a>b>0)，且满足∠F1AF2＝120°，如图所示， 则在△AF2O中，|OA|＝b，|AF2|＝a，且∠OAF2＝60°，所以a＝2b，不妨设b＝1，则a＝2，所以c＝＝，则椭圆的方程为＋y2＝1，又由A(0,1)，F2(，0)，所以kAF2 ＝－，所以直线AF2的方程为y＝－x＋1，联立方程组，整理得7x2－8x＝0，解得x＝0或x＝，把x＝代入直线y＝－x＋1，解得y＝－，即M ，又由点B(0，－1)，所以BM的斜率为kBM＝＝，故选B． (4)已知P为椭圆C：＋＝1上的一个动点，F1，F2是椭圆C的左、右焦点，O为坐标原点，O到椭圆C在P点处的切线距离为d，若|PF1|·|PF2|＝，则d＝________． 答案　　解析　法一：因为点P在椭圆上，所以有|PF1|＋|PF2|＝4，又因为|PF1|·|PF2|＝，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝＝，所以有sin∠F1PF2＝，所以△F1PF2的面积为S＝××＝×2×yp，解得yp＝，因为点P在椭圆上，所以xp＝．所以过该点的椭圆的切线方程为＋＝1，即为x＋y＝．所以原点O到直线的距离为d＝＝． 法二：设P(m，n)，则切线方程为＋＝1，即3mx＋4ny－12＝0．所以原点O到该切线的距离d＝．因为点P(m，n)在椭圆上，所以＋＝1，所以有n2＝3－，所以d＝．因为|PF1||PF2|＝，所以有 ＝，即有 ＝4－m2＝，解得16－m2＝，所以d＝＝． (5)已知直线MN过椭圆＋y2＝1的左焦点F，与椭圆交于M，N两点，直线PQ过原点O与MN平行，且与椭圆交于P，Q两点，则＝______