立体几何几何法专题训练-2022届安徽省合肥市第一中学高三数学二轮复习

2022届合肥一中立体几何几何法专题训练 合肥一中高考命题研究组编审 一．求二面角 【定义法求二面角】1.如图，在三棱柱-中， ，， ，在底面 的射影为的中点， 为的中点. （1）证明：D 平面；（2）求二面角-BD- 的平面角的余弦值. 【三垂线定理求二面角】2.如图，在三棱柱中，平面平面， 为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【变式】如图，棱柱中，底面是平行四边形，侧棱底面，过的截面与上底面交于，且点在棱上，点在棱上，且，，. （1）求证：；（2）若二面角的平面角的余弦值为，求侧棱的长. 【作差法求二面角】3.如图，几何体的底面ABCD是边长为2的菱形，，和均为正三角形，M，N分别为CD，PB的中点. （1）求证：；提示；利用平面图形所蕴含的垂直关系 （2）求二面角的余弦值 二．平行 4.如图所示，在正方体中，侧面对角线上分别有一点E，F，且，则直线EF与平面ABCD所成的角的大小为   点在异面直线，分别与异面直线成一定比例，构造面面平行，简记为异面直线用点不用面，用线找三角 A. B. C. D. 5.如图，四棱锥P﹣ABCD中，PAB是等边三角形，底面ABCD是直角梯形，ABCD，AB⊥AD，AB＝BC＝2，，F，G分别是PC，AD的中点．求证：FG平面PAB提示：利用面面平行证明线面平行 6.正方体中， 分别为棱和的中点。试用多种方法求异面直线与所成角的余弦值 三．动点问题 【构建函数求最值】7.如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若平面ABC外一点P和线段AC上一点D，满足PD＝DA，PB＝BA，则四面体P－BCD的体积的最大值是________． 【极端位置巧分析】8.在正四面体A－BCD中，E为棱BC的中点，F为直线BD上的动点，则平面AEF与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围是________． 【拓展】已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B，C是⊙O上的两个点，H是点B在AC上的射影，当点C运动时，说明点H运动的轨迹是圆 四．利用面面垂直性质构造已知平面的垂线 9.如图，三棱锥中，两两垂直，，，分别是的中点. （1）证明：平面面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 10.在三棱柱中，底面是等腰三角形，且，侧面 是菱形，，平面平面，点是的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 五．存在问题 11.在三棱锥中，平面平面ABC，，，D为AB的中点，M为PD的中点，N在棱BC上． Ⅰ当N为BC的中点时，证明：平面PAC； Ⅱ求证：平面PBC； Ⅲ是否存在点N使得平面PAC？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 12.（2020·深圳市高级中学高二期中）如图所示，在直四棱柱中，，，点M是棱上一点． （1）求证：； （2）试确定点M的位置，使得平面平面． 1.【详解】（1）根据条件首先证得平面 ，再证明，即可得证；（2） 作，且，可证明为二面角 的平面角，再由 余弦定理即可求得，从而求解. （1）设为 的中点，由题意得平面，∴，∵， ∴，故 平面，由 ，分别 ，的中点，得 且 ，从而 ，∴四边形为平行四边形，故 ，又∵ 平面，∴ 平面；（2）作 ，且，连结， 由， ，得，由， ，得 ，由，得 ，因此为二面角 的平面角，由 ，， ，得， ，由余弦定理得，. 2.（1）由等腰三角形性质得，利用面面垂直性质定理得平面，即得．再结合已知条件根据线面垂直判定定理得面．（2）先根据平几知识求得，再利用面面垂直性质定理得面，过作于，利用三垂线定理可得为二面角的平面角，最后解直角三角形可得二面角的余弦值 （1）证明：∵， 为的中点，∴，又平面平面，平面平面， 平面，∴平面，又平面，∴．又,，∴面． （2）设,由 ，则, 从而求得:,故,故，由面面，则面，过作于，连，则为二面角的平面角， 由平面几何知识易得， ． ∴． 变式 【分析】（1）由线面平行的性质定理可推出，再由平行的传递性可证得 （2）先找出二面角的平面角，表示出，求出，再设，建立方程求出，进而求出. 【详解】（1）在棱柱中，面，面， 面面，由线面平行的性质定理有，又，故； （2）证明：在底面中，，，.， ，，又因为侧棱底面，则底面，面，，又，面过点作于，连接，则是二面角的平面角．，，则，故，，．设，则． ，，故，故． 3.【分析】（1）先证，，则有平面PBC，从而可得到本题结论； （2）先找出所求的二面角的平面角为，然后在中通过解三角形,即可得到本题答案. 【详解】（1）证明：如图，由底面ABCD，得，又，故为等腰直角三角形，而点E是棱PB的中点，所以，由题意知，又AB是PB在面ABCD内的射影，由三垂