第九章 第五节 排列组合-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习

第五节 排列与组合 知识回顾 1．排列、组合的定义 排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 组合的定义 合成一组 2．排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数 公式 A＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)＝ C＝＝ ＝ 性质 A＝n！，0！＝1 Cn＝C， C＋C＝C＋1， C＝1，C＝1 课前检测 1.从3,5,7,11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是(　　) A.6　　　　　　　　　　 B.8 C.12 D.16 解析：选C　由于lg a－lg b＝lg ，从3,5,7,11中取出两个不同的数分别赋值给a和b共有A＝12种，所以得到不同的值有12个. 2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　) A．144 B．120 C．72 D．24 答案　D 解析　“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24. 3．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为(　　) A．8 B．24 C．48 D．120 答案　C 解析　末位数字排法有A种，其他位置排法有A种， 共有AA＝48(种)排法，所以偶数的个数为48. 4．从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是________． 答案　24 解析　从4本书中选3本有C＝4(种)选法，把选出的3本送给3名同学，有A＝6(种)送法，所以不同的送法有CA＝4×6＝24(种)． 5．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　) A．192种 B．216种 C．240种 D．288种 答案　B 解析　第一类：甲在最左端，有A＝5×4×3×2×1＝120(种)排法；第二类：乙在最左端，甲不在最右端， 有4A＝4×4×3×2×1＝96(种)排法． 所以共有120＋96＝216(种)排法． 6．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________． 答案　30 解析　分两种情况：(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有CC种不同的选法；(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有CC种不同的选法． 所以不同的选法共有CC＋CC＝18＋12＝30(种)． 课中讲解 考点一.排列问题 例1.名女生和5名男生排成一排 (1)如果女生全排在一起,有多少种不同排法？ (2)如果女生都不相邻,有多少种排法？ (3)如果女生不站两端,有多少种排法？ (4)其中甲必须排在乙前面(可不邻),有多少种排法？ (5)其中甲不站左端,乙不站右端,有多少种排法？ (1)4 320　(2)14 400　(3)14 400　(4)20 160 (5)30 960 (1)(捆绑法)由于女生排在一起,可把她们看成一个整体,这样同五个男生合在一起有6个元素,排成一排有A种排法,而其中每一种排法中,三个女生间又有A种排法,因此共有A·A＝4 320(种)不同排法． (2)(插空法)先排5个男生,有A种排法,这5个男生之间和两端有6个位置,从中选取3个位置排女生,有A种排法,因此共有A·A＝14 400(种)不同排法． (3)法一(位置优先法)　因为两端不排女生,只能从5个男生中选2人排列,有A种排法,剩余的位置没有特殊要求,有A种排法,因此共有A·A＝14 400(种)不同排法． 法二(元素优先法)　从中间6个位置选3个安排女生,有A种排法,其余位置无限制,有A种排法, 因此共有A·A＝14 400(种)不同排法． (4)(倍缩法)8名学生的所有排列共A种,其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中,∴符合要求的排法种数为A＝20 160(种)． (5)甲、乙为特殊元素,左、右两边为特殊位置． 法一(元素优先法)　甲在最右边时,其他的可全排,有A种；甲不在最右边时,可从余下6个位置中任选一个,有A种．而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上,有A种,其余人全排列,共有A·A·A 种．由分类加法计数原理,共有A＋A·A·A＝30 960(种)． 法二(位置优先法)　先排最左边,除去甲外,有A种,余下7个位置全排,有A种,但应剔除乙在最右边时的排法A·A种,因此共有A·A－A·A＝30 960(种)． 法三(间接法)　8个人全排,共A种,其中,不合条件的有甲在最