考向20 简单的线性规划-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）

考向20 简单的线性规划 1.（2020•全国1卷）若x，y满足约束条件 则z＝x＋7y的最大值为______. 【答案】1 【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 目标函数 即： ， 其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值， 联立直线方程： ，可得点A的坐标为： ， 据此可知目标函数的最大值为： .故答案为：1． 【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大. 2.（2020•全国3卷）若x，y满足约束条件 ，则z＝3x＋2y的最大值为_____． 【答案】7 【解析】作出可行域，利用截距的几何意义解决. 【详解】不等式组所表示的可行域如图 因为 ，所以 ，易知截距 越大，则 越大， 平移直线 ，当 经过A点时截距最大，此时z最大， 由 ，得 ， ，所以 .故答案为：7. 【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题. 3.（2020•浙江卷）若实数x，y满足约束条件 ，则z＝2x＋y的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数在何处能够取得最大值和最小值从而确定目标函数的取值范围即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 目标函数即： ， 其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大， z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值， 联立直线方程： ，可得点A的坐标为： ， 据此可知目标函数的最小值为： ,且目标函数没有最大值. 故目标函数的取值范围是 .故选：B 【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大. 4.（2020•上海卷）已知 EMBED Equation.DSMT4 ，则 的最大值为 【答案】－1 解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决． 一、填空题 1．（2021·上海嘉定·高三）已知x，y满足 ，则 的最小值为________. 【答案】1 【分析】画出不等式组表示的可行域，然后结合图形可得答案. 【详解】不等式组表示的可行域如图： 由 可得 ， 由图可得当直线 过点 时纵截距最大，即 最小，最小值为 故答案为：1 2．（2021·上海市控江中学高三）若x、y满足 ，且 ，则 的最大值为_________. 【答案】5 【分析】在坐标平面内作出x、y满足的约束条件表示的平面区域，利用目标函数的几何意义求解而得. 【详解】在坐标平面内作出不等式组 表示的平面区域，如图中阴影 ， 令 ，即 表示斜率为 ，纵截距为 的平行直线系，作直线l0： ， 平移直线l0使其过点A时纵截距最大，即z最大，由 得A(2，1)， 所以x=2，y=1时 取得最大值5. 故答案为：5 3．（2021·上海市大同中学高三）已知非负实数x、y满足 ，则 的最小值为_________. 【答案】 【分析】先画出非负实数x、y满足 所表示的平面区域，然后求点到直线的距离即可. 【详解】非负实数x、y满足 所表示的平面区域如下图所示的阴影部分： 所表示的意义为平面区域内的点到直线 的距离， 从上图可知点 到直线 的距离最小，其值为 . 故答案为： . 4．（2021·上海长宁·高三）若实数 满足 ，则 的最小值为_____． 【答案】 【分析】根据约束条件画出可行域，由目标函数的几何意义，结合图形，即可得出结果． 【详解】解：由约束条件作出可行域如图， 由图可知， 由 ，得 ，由图可知，当直线 过 时，直线在 轴上的截距最大，则 有最小值为 ． 故答案为： ． 5．（2019·上海市实验学校）已知实数x，y满足约束条件 ，则 的最大值为___________. 【答案】2 【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解. 【详解】作出约束条件 对应的平面区域，如图所示， 由 ，可得直线 ， 当直线 过点A时，此时直线在 轴上的截距