考向19 不等式有解和恒成立问题-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）

考向19 不等式有解和恒成立问题 1.（2020•上海真题）下列不等式恒成立的是（） A、 B、 C、 D、 【答案】B 含参不等式的恒成立与有解问题是高考与会考考察不等式的一个重点内容，也是常考的内容。因此这部分内容是十分重要的。大致来说这类问题在高考中有两种解法，一种是二次函数法，另一种是分离变量法。 · 不等式有解与不等式恒成立问题 · 子知识点一：二次函数法。在高考中，很多不等式可以通解变形为一元二次不等式。因此利用二次函数来求解不等式的恒成立（有解）问题是一个非常有用的方法。 · 子知识点二：分离参数法。所谓分离参数法就是将不等式同解变形为 或者 的形式，然后再利用以下命题进行求解。 ； .. 一、单选题 1．（2022·全国高三专题练习（理））若关于 的不等式 在 内有解，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】关于 的不等式 在 内有解，等价于在 内 ，然后求出 即可 【详解】解：关于 的不等式 在 内有解，等价于在 内 ， 令 ， 因为抛物线的对称轴为 ， 所以当 时， 取最大值 ， 所以 ， 故选：B 2．（2020·安徽淮北·高三（理））已知命题 ：“存在正整数 ，使得当正整数 时，有 成立”，命题 ：“对任意的 ，关于 的不等式 都有解”，则下列命题中不正确的是（ ） A． 为真命题 B． 为真命题 C． 为真命题 D． 为真命题 【答案】D 【分析】直接利用放缩法证得命题 是真命题；利用指数函数和幂函数的性质，分类讨论可知命题Q为真．进而利用复合命题的真假性判定. 【详解】解：对于任意 , ， ， 为使 ，只需要 只需要 , ，故取 时，只要 成立， 便成立. 故命题 是真命题； 对于命题 ：∵ ，∴当 时，只要 ，则 成立； 当 时，只要 ， 成立，所以对于 ,关于x的不等式 都有解，故命题Q为真命题. 从而 为真命题， 为真命题， 为真命题， 为假命题． 故选：D． 3．（2019·上海市建平中学）已知 为奇函数，当 时， ，当 ， ，若关于 的不等式 有解，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用 为奇函数及已知区间解析式求出 在 上分段函数的表示形式，由 有解，即 使 即可，结合函数图象分析即可得 的取值范围； 【详解】若 ，即 ，则 ； ∵ 是奇函数， ∴ ，则 ， ； 同理，若 ，即 ，则 ，有 ， ； 综上，有 作出函数 的图象如图： 1、当 时， 是 的图象向左平移 个单位，即如下图 此时 有解，满足条件. 2、当 时， 是 的图象向右平移 个单位，即如下图 当 的图象与 在 相切时， ，此时对应直线斜率 ，由 ，得 ，此时 ，即切点坐标为 ； 设切线方程为 ，此时 ，得 ； ∴当 时，满足题设条件，解之得： ； 综上，有 或 ，即 的取值范围是 ； 故选：D. 【点睛】本题考查了利用函数奇偶性求函数解析式，并利用函数不等式能成立，结合函数图象分析边界情况，利用导数求边界值，进而得到参数范围； 二、填空题 4．（2021·广西柳州·高三（理））定义域为实数集的偶函数 满足 恒成立，若当 时， ，给出如下四个结论： ①函数 的图象关于直线 对称； ②对任意实数 ，关于 的方程 一定有解； ③若存在实数 ，使得关于 的方程 有一个根为2，则此方程所有根之和为 ； ④若关于 的不等式 在区间 上恒成立，则 有最大值． 其中所有正确结论的编号是__________． 【答案】① ② 【分析】由已知根据周期函数定义可得，函数 为周期为2的函数， 对于①：结合函数的周期性与对称性可得，函数的对称轴为： ，从而可判断； 对于②：问题可转化为函数 的图象与函数 的图象一定有交点，在同一个直角坐标系中，作出两个函数 与 的图象即可判断； 对于③：将 代入方程，求出 或 ，分析 不符合题意； 对于④：当 时， ，即 ，即可判断. 【详解】解： 函数 满足 ，对任意 恒成立， 用 替换上式中的 可得， ， 函数 为周期为2的函数， 又 函数为偶函数， EMBED Equation.DSMT4 图象关于 轴对称， 对于①：结合函数的周期性与对称性可得，函数的对称轴为： ， 由此可得，函数关于直线 对称，故①正确； 对于②：方程 一定有解，即方程 一定有解，即函数 的图象与函数 的图象一定有交点. 因为函数 的图象是将函数 的图象沿 轴平移 个单位长度得到的， 所以在同一个直角坐标系中作出两个函数 与 的图象如下： 由图象可得，将 左右平移后一定会与函数 相交，故②正确； 对于③：如图，若 为 与 的一个交点，则当 时， 与 的图象都关于 轴对称，所有