3.2函数与方程、不等式之间的关系讲义-2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

3.5函数与方程（新课） 知识梳理 函数零点的理解 1.函数的零点方程的根函数图象与轴交点的横坐标两函数交点的横坐标 实质上是同一个问题的三种不同表达形式：方程的根的个数就是函数零点的个数，即函数图象与轴交点的个数。 2.零点存在性定理（判定函数零点的） 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。 【注意】①不满足的函数也可能有零点.②若函数在区间上的图象是一条连续曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件. 函数零点所在区间与零点个数的判断 1. 函数零点所在区间与零点个数的判断 解方程：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根，根所在区间. 零点存在性定理：利用定理进行判断. 图像法：画出相应函数的图象，通过观察函数图象与轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断. 2. 函数在给定区间上的零点个数的判断方法： 直接求零点：如果方程易解，可先解方程，那么在给定区间上有几个不同的解就有几个零点. 零点存在性定理：定理要求函数图象在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数共有多少个零点. 利用函数图象交点的个数：①画出函数的图象，函数的图象与轴在给定区间上交点的个数就是函数的零点个数；②将函数拆成两个图象易得的函数和的差，即等价于，则所求的零点个数即为函数和的图象在给定区间上的交点个数. 典例解析 考点一：求函数零点 例1．求下列函数的零点． （1）；　 （2）． 变式1．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． （1）f（x）＝； （2）f（x）＝x2＋2x＋4； 变式2．函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是________. 考点二：零点存在性定理 例2．若函数在区间[0,4]上的图像是连续不断的曲线，且方程在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)f(4)的值(　　) A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法判断 变式1．函数，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为(　　) A．至多有一个 B．有一个或两个 C．有且仅有一个 D．一个也没有 变式2．已知f(x)＝－x－x3，x