第一章 勾股定理 专题特训(一) 运用勾股定理解决两类问题-2021-2022学年八年级上册数学【拔尖特训】北师大版

点拨:在立体图形上求最短路程,就是把立体图形表面上两点 间的最短路程问题转化为求平面上两点之间的距离.在具体问 题中,关键是画出展开后的平面图形,并标出所求距离的两个 点的位置,然后用勾股定理求出. 专题特训(一)　运用勾股定理解决两类问题 1. A 解析:如图,把圆柱的侧面展开,得到长方形,则这圈金 属丝的周长最小为2AC 的长度.因为圆柱的底面周长为 8dm,高为3dm,所以AB=3dm,BC=BC'=4dm.所以 AC2=AB2+BC2=25dm2.所以AC=5dm.所以这圈金属丝 的周长最小为2AC=10dm. (第1题) 2. 13 解析:将长方体的侧面展开,如图,根据“两点之间,线 段最短”,可得蚂蚁爬行的最短路径的长就是线段PQ 的长.由 题意,得AP=2+4+2+4=12(cm),AQ=5cm.在Rt△PAQ 中,根 据 勾 股 定 理,得 PQ2=AP2+AQ2=122+52= 169(cm2).所以PQ=13cm,即蚂蚁爬行的最短路径的长为 13cm. (第2题) 点拨: 将长方体的侧面展开,可以达到“化折为直”的作用,因 此解答本题的关键是将“长方体中蚂蚁爬行的最短路径的长” 转化为展开图中PQ 的长. 3. 如图,将圆柱形水塔的侧面展开 展开1个侧面+12个侧 面 .根据“两点之间,线段最短”,得楼梯的最短长度为展开图 中线段AC的长.因为螺旋形楼梯绕一周半到达塔顶,底面周 长为5m,所以AB=5+12×5= 15 2 (m).在Rt△ABC中,因为 BC=18m,所以AC2=AB2+BC2= 152 2 +182=15214 (m2). 所以AC=392 m. 所以楼梯至少长39 2 m. (第3题) 点拨: 圆柱的侧面展开图是一个长方形,此长方形的一条边长 等于圆柱的底面周长,相邻边长等于圆柱的高.由于本题中螺 旋形楼梯绕一周半到达塔顶,因此确定侧面展开图的水平距离 时,还需增加半个侧面的长,这是解答本题的关键. 4. 将台阶按如图所示的方式展开.因为AC=3×3+1×3= 12(dm),BC=5dm,所以在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,由勾 股定理,得AB2=AC2+BC2=122+52=169(dm2).所以 AB=13dm.所以这只蚂蚁从点A 出发,沿着台阶面爬到点B 的最短路程是13dm. (第4题) 5. B 解析:因为AC=18,EC=5,所以AE=13.因为将 △ABC沿DE 折叠,使点A 与点B 重合,所以BE=AE=13. 在Rt△BCE 中,由勾股定理,得BC2=BE2-EC2=132- 52=144.所以BC=12. 6. B 解析:如图,连接BM、MB'.设AM=x.在Rt△ABM 中,AB2+AM2=BM2.在 Rt△MDB'中,B'M2=MD2+ DB'2.由折叠的性质,得BM=B'M,所以AB2+AM2=MD2+ DB'2,即92+x2=(9-x)2+(9-3)2,解得x=2,即AM=2. (第6题) 点拨:由折叠发现对应线段相等,然后运用勾股定理建立方程 是解决这类问题常用的方法. 7. 在Rt△ABC 中,由勾股定理,得AB2=AC2+BC2=52+ 122=169,所以AB=13.由折叠的性质,知CD=DE,AC= AE,∠AED=∠C=90°.所以∠DEB=90°.设CD=x,则 DE=x,DB=12-x,BE=AB-AE=13-AC=13-5=8. 在Rt△BDE 中,由勾股定理,得DE2=BD2-BE2,即x2= (12-x)2-82,解得x=103. 所以CD=103. 8. 因为四边形ABCD 是长方形,所以AB=CD=6,AD= BC,∠B=∠C=90°.因为S△ABF= 1 2AB ·BF=24,AB=6, 所以BF=8.在Rt△ABF 中,由勾股定理,得AF2=AB2+ BF2=62+82=100,所以AF=10.由折叠的性质,可得BC= AD=AF=10,DE=EF,所以FC=BC-BF=10-8=2.设 EF=x,则DE=x,EC=6-x.在Rt△EFC 中,由勾股定理, 得x2=(6-x)2+22,解得x=103. 所以EF=103. 9. 因为四边形ABCD 是长方形,所以AB=CD,∠B=∠D= 90°.因为将长方形ABCD 沿对角线AC 翻折,点B 落在点F 处,所以∠F=∠B=90°,AB=AF,BC=CF.所以AF=CD, ∠F= ∠D.在 △AFE 和 △CDE 中,因 为 ∠F = ∠D, ∠AEF=∠CED,AF=CD,所以△AFE≌△CDE.所以 FE=DE.因为AB=4,BC=8,所以CF=8,AF=CD=4, CE=CF-FE=8-DE.在Rt△C