第一章 勾股定理 复习课-2021-2022学年八年级上册数学【拔尖特训】北师大版

DE2+CD2=CE2,即DE2+42=(8-DE)2,所以DE=3.所 以FE=3.所以题图中阴影部分的面积=S△ACF-S△AEF= 1 2AF ·CF-12AF ·FE=12×4×8- 1 2×4×3=10. 第一章复习课 [基础进阶] 1. C 2. D 3. C 4. D 5. 1750 6. 不能 7. AC⊥CD.理由:因为AB⊥BC,所以∠B=90°.所以AC2= AB2+BC2=12+22=5.因为在△ACD 中,AC2+CD2=5+ 22=9,AD2=32=9,所以AC2+CD2=AD2.所以△ACD 为 直角三角形,且∠ACD=90°.所以AC⊥CD. 8. 如图,过点A 作AD⊥BC 于点D.在△ABC 中,AB=15, BC=14,AC=13.设BD=x,则CD=14-x.在Rt△ABD 中,由勾股定理,得AD2=AB2-BD2=152-x2.在Rt△ACD 中,由勾股定理,得AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2.所以 152-x2=132-(14-x)2,解得x=9.所以易得AD=12.所 以S△ABC= 1 2BC ·AD=12×14×12=84. (第8题) [能力攀升] 9. D 解析:利用大正方形的面积和直角三角形的勾股定理, 得x2+y2=49.利用小正方形的面积和边长,结合图形,得 x-y=2.所以(x-y)2=4,即49-2xy=4.所以2xy=45.所 以(x+y)2=x2+y2+2xy=94≠169.所以x+y≠13.综上 所述,选项A、B、C正确,选项D错误. 10. C 解析:如图,取BC 的中点E,连接AE.所以EC= BE=12BC=4. 因为AB=AC,所以AE⊥BC.所以∠AEB= ∠AEC=90°.所以AE2=AB2-BE2=52-42=9.所以AE= 3.因为D 是线段BC 上的动点(不与端点B,C 重合),所以 3≤AD<5.因为线段AD 的长为正整数,所以AD=3或4.当 AD=3时,只存在1个点D;当AD=4时,存在2个点D.所 以点D 共有3个. (第10题) 11. D 解析:因为AB=2.5m,AC=0.7m,由勾股定理,可 得BC2=AB2-AC2=5.76m2.所以BC=2.4m.因为梯子的 顶端下滑0.4m,即BE=0.4m,所以EC=BC-BE=2m.因 为DE=2.5m,所以DC2=DE2-EC2=2.25m2.所以DC= 1.5m.所以AD=DC-AC=0.8m,即梯子的底端向外滑出 0.8m. 12. 2.5 解析:设AC=xm,则BC=(9-x)m.在Rt△ABC 中,由勾股定理,可得AC2+AB2=BC2,所以x2+62=(9- x)2,解得x=2.5.所以折断处离地面的距离为2.5m. 13. 5 3 解析:设CE=x.因为四边形ABCD 是长方形,所以 AD=BC=5,CD=AB=3,∠A=∠D=90°.因为△BFE 是 由△BCE 沿BE 折叠得到的,所以BF=BC=5,EF=CE= x,DE=CD-CE=3-x.在 Rt△ABF 中,由勾股定理,得 AF2=BF2-AB2=52-32=16.所以AF=4.所以DF= AD-AF=5-4=1.在 Rt△DEF 中,由勾股定理,得DE2+ DF2=EF2,即(3-x)2+12=x2,解得x=53. 所以CE 的长 为5 3. 14. (1) 因为在△ABE 中,DE⊥AB,DE=7,△ABE 的面积 为35,所以S△ABE= 1 2AB ·DE=12AB×7=35. 所以AB= 10.(2) 因为在△ABC 中,BC=6,AC=8,AB=10,所以 AC2+BC2=82+62=100,AB2=102=100.所以 AC2+ BC2=AB2.所以∠C=90°.所以S△ABC= 1 2AC ·BC=12× 8×6=24.所以四边形ACBE 的面积=S△ABC+S△ABE=24+ 35=59. 15. (1) 如图,作点A 关于BC 的对称点A',连接A'G 交BC 于点Q,蚂蚁应该沿着A→Q→G 的路线爬行才能使路程最 短.(2) 因为AB=60cm,AE=40cm,所以BE=20cm.由图, 易得A'B=AB=60cm,A'Q=AQ.所以A'E=80cm.因为在 Rt△A'EG 中,A'E=80cm,EG=60cm,所以A'G2=A'E2+ EG2=10000cm2.所以A'G=100cm.所以AQ+QG=A'Q+ QG=A'G=100cm.所以蚂蚁爬行的最短路程为100cm. (第15题) [拓展拔尖] 16. 在题图②