第一章 勾股定理 拔尖测评-2021-2022学年八年级上册数学【拔尖特训】北师大版

点拨:解答此类问题时需要作三角形的高,构造出双直角三角 形,利用它们公共的直角边作“桥梁”,通过勾股定理将两个直 角三角形的边联系在一起,达到解决问题的目的. 第一章拔尖测评 一、 1. C 2. C 3. C 4. D 5. C 6. B 解析:将长方体表面展开,由于蚂蚁是沿长方体木块的 表面爬行,且长方体木块的底面是正方形,故它爬行的路线有 两种情况,如图①②所示.因为两点之间,线段最短,所以最短 的爬行路线的长就是线段AB 的长.在图①中,由勾股定理,得 AB2=32+(3+8)2=130(cm2).在图②中,由勾股定理,得 AB2=(3+3)2+82=100(cm2).因为130>100,所以图②中 的AB 的长度更短.由AB2=100cm2,可知AB=10cm.所以 蚂蚁从A 处爬到B 处的最短路线的长为10cm. (第6题) 7. C 解析:如图,过点A 作AD⊥MN 于点D,并作AB= AC=200m= 53AD. 因为AD=120m,由勾股定理,可得 BD2=AB2-AD2=2002-1202=25600(m2),所以BD= 160m,BC=160×2=320(m).因为320m=0.32km,所以受 噪音影响的时间是0.32÷72×3600=16(s). (第7题) 8. C 解析:因为不论点P 在AC 上移动到哪一点,AP+CP 都等于AC,要使AP+BP+CP 最小,则应使BP 最小,此时 BP⊥AC.设AP=x,则CP=5-x.在Rt△ABP 中,BP2= AB2-AP2.在Rt△BCP 中,BP2=BC2-CP2,所以AB2- AP2=BC2-CP2.所以52-x2=62-(5-x)2,解得x=1.4. 在Rt△ABP 中,BP2=AB2-AP2=52-1.42=23.04,所以 BP=4.8.所以AP+BP+CP=AC+BP=5+4.8=9.8. 二、 9. 64 10. 60m2 11. 4 12. 36 13. 16 14. 13 解析:如图,连接AB,构造Rt△ABC.易知AC=1+ 2+2=5,BC=4+4+4=12.由勾股定理,可知AB2=AC2+ BC2=52+122=169,所以AB=13,即从点B 到点A 的最短 距离为13. (第14题) 15. 6 8 解析:设CD=x,则BD=BC+CD=9+x.在 Rt△ACD 中,因为∠D=90°,所以 AD2=AC2-CD2.在 Rt△ABD 中,因为∠D=90°,所以AD2=AB2-BD2.所以 AC2-CD2=AB2-BD2,即102-x2=172-(9+x)2,解得 x=6,即CD=6.所以AD2=102-62=64,即AD=8. 16. 25 解析:将曲面展平如图所示.作点C 关于AB 的对称 点F,连接DF,交AB 于点E,连接CE,则BC=BF,CE= FE.所以此时小明从点D 滑到点E 再滑到点C的滑行距离最 短,最短距离即DF 的长.因为中间可供滑行的部分的截面是 半径为2.5m的半圆,所以BC=2.5π≈2.5×3=7.5(m).所 以CF=2BC=15m.又 因 为 AB=CD=20m,所 以 在 Rt△CDF 中,DF2=CF2+CD2=625m2.所以DF=25m,即 他滑行的最短距离约为25m. (第16题) 三、 17. △ABC 是直角三角形.因为正方形CDEF 的面积是 169cm2,所以CF=13cm.在Rt△ACF 中,由勾股定理,得 AC2=CF2-AF2=132-122=25(cm2).在△ABC 中,因为 AB2+BC2=32+42=25(cm2),所以AB2+BC2=AC2.所以 △ABC是直角三角形,且∠B=90°. 18. 根据题意,可知AB=50m,AC=BC+10m.设BC= xm.在Rt△CBA 中,∠CBA=90°,由勾股定理,得AC2= AB2+BC2,即(x+10)2=502+x2,解得x=120.所以河的宽 度BC为120m. 19. 如图,连接BD,过点B 作BE⊥AD 于点E.因为AB= AD,∠A=60°,所以∠1=∠ABD=60°.所以∠1=∠A.因为 BE⊥AD,所以∠AEB=∠DEB=90°.又因为BE=BE,所以 △ABE≌△DBE.所以AB=BD=8.又因为∠ADC=∠1+ ∠2=150°,所以∠2=90°.设BC=x.因为四边形ABCD 的周 长为32,AB=AD=8,所以CD=32-AB-AD-BC=16-x. 在Rt△BCD 中,由勾股定理,得BC2=BD2+CD2,即x2=82+ (16-x)2,解得x=10,即BC=