2.2.4 第2课时 均值不等式的应用-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【创新教程】五维课堂同步课时作业（人教B版）

1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝的最小值是(　　) ＋ A.　　　　　　　　 B．4 C. D．5 解析：C　[∵a＋b＝2，∴＝1. ∴.]的最小值为＋，即b＝2a时，“＝”成立)，故y＝＝(当且仅当＝＋2)≥＋＋()＝)(＋＝(＋ 2．已知x≥有(　　) ，则f(x)＝ A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1 解析：D　[f(x)＝，即x＝3时等号成立．]]≥1.当且仅当x－2＝[(x－2)＋＝＝ 3．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　) A．3 B．4 C. D. 解析：B　[∵x＋2y＋2xy＝8， ∴y＝＞0. ∴0＜x＜8.∴x＋2y＝x＋2·－2＝4.－2≥2 ＝(x＋1)＋ 当且仅当x＋1＝， 即x＝2时，取“＝”号，此时x＝2，y＝1.] 4．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是(　　) A．a≥ B．a> C．a< D．a≤ 解析：A　[因为对任意x>0，.]时等号成立，所以a≥，当且仅当x＝＝≤＝max，而对x>0，≤a恒成立，所以对x>0，a≥ 5．(多选)下列四个命题中，是真命题的是(　　) A．∀x∈R，且x≠0，x＋≥2 B．∃x∈R，使得x2＋1≤2x C．若x>0，y>0，则 ≥ D．若x≥的最小值为1，则 解析：BCD　[对于A，∀x∈R，且x≠0，x＋，即x＝3时取等号．故y的最小值为1.]＝1，当且仅当x－2＝·2≥，所以x－2>0.所以，因为x≥＝＝，当且仅当x＝y>0时取等号，正确；对于D，y＝≥≥2对x<0时，不成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2,2x＝2，x2＋1≤2x成立，正确；对于C，若x>0，y>0，则(x2＋y2)(x＋y)2≥2xy·4xy＝8x2y2，化为 6．(多选)设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a＋b＋≥ B.≥2 C.≥4≥a＋b D．(a＋b) 解析：ACD　[因为a>0，b>0，所以a＋b＋，≥，当且仅当a＝b时取等号，所以－≥2＝a＋b－＝，当且仅当a＝b时取等号，所以＝≤不一定成立．故B不成立．因为≤，当且仅当a＝b时取等号，所以＝≤>0，所以时取等号，故A一定成立．因为a＋b≥2，即a＝b＝＝，当且仅当a＝b且2≥2＋≥2 所以≥a＋b，故C一定成立． 因为(a＋b)(≥4，当且仅当a＝b时取等号，故D一定成立，故选A、C、D.]＋)＝2＋＋ 7．已知实数m，n满足m·n＞0，m＋n＝－1，则的最大值为________． ＋ 解析：∵m·n＞0，m＋n＝－1，∴m＜0，n＜0， ∴取得最大值－4.＋时，＝－4，当且仅当m＝n＝－)≤－2－2 ＋)＝－(2＋＋＝－(m＋n)(＋ 答案：－4 8．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元． 解析：设水池的造价为y元，长方形底的一边长为x m，由于底面积为4 m2，所以另一边长为 m. 那么y＝120·4＋2·80·(2x＋2·) ＝480＋320(x＋) )＝480＋320(x＋ ≥480＋320·2 ＝1 760(元)． 当x＝2，即底为边长为2 m的正方形时，水池的造价最低，为1 760元． 答案：1 760 9．设x＞－1，则函数y＝的最小值是________． 解析：∵x＞－1，∴x＋1＞0，设x＋1＝t＞0，则x＝t－1，于是有y＝＋5＝9，＋5≥2＝t＋＝ 当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1. ∴当x＝1时，函数y＝取得最小值9. 答案：9 10．某品牌电脑体验店预计全年购入360台电脑，已知该品牌电脑的进价为3 000元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入x(x∈N*)台，且每批需付运费300元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比(比例系数为k)，若每批购入20台，则全年需付运费和保管费7 800元． (1)记全年所付运费和保管费之和为y元，求y关于x的函数． (2)若要使全年用于支付运费和保管费的资金最小，则每批应购入电脑多少台？ 解析：(1)由题意，得y＝×300＋k×3 000x. 当x＝20时，y＝7 800，解得k＝0.04. 所以y＝×300＋120x(x∈N*)． ×300＋0.04×3 000x＝ (2)由(1)，得y＝×300＋120x≥ 2＝2×3 600＝7 200. 当且仅当＝120x，即x＝30时，等号成立． 所以要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，每批应购入电脑30台． 11．(1)已知0＜x＜，求y＝2x－5x2的最大值； (2)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求的最小值． ＋ 解析：(1)y