2021-2022学年江苏省八年级数学上册第3章《勾股定理》竞赛题精选

2021-2022学年江苏省八年级数学上册第3章《勾股定理》竞赛题精选 一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分） 1．（4分）（2015•永春县自主招生）已知△ABC的三边长分别为a，b，c且a+b＝4，ab＝1，c＝，则△ABC的形状为（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【分析】利用完全平方公式可得a2+b2＝14，再根据勾股定理逆定理可得△ABC的形状为直角三角形． 【解答】解：∵a+b＝4， ∴（a+b）2＝16， ∴a2+b2+2ab＝16， ∵ab＝1， ∴a2+b2＝14， ∵c2＝14， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC的形状为直角三角形， 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 2．（4分）（2006•宁波校级自主招生）设直角三角形的三边长分别为a、b、c，若c﹣b＝b﹣a＞0，则＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据已知条件判断c是斜边，并且得到c+a＝2b，然后根据勾股定理得到c2﹣a2＝b2，然后因式分解可以求出c﹣a，代入要求的式子可以求出结果了． 【解答】解：∵c﹣b＝b﹣a＞0 ∴c＞b＞a，c+a＝2b 根据勾股定理得，c2﹣a2＝b2，（c+a）（c﹣a）＝b2， ∴c﹣a＝b ∴＝4 故选：C． 【点评】此题主要利用了勾股定理和因式分解解题，题目式子的值不能直接求出，把它的分子分母分别用b表示才能求出． 3．（4分）（2017•延平区校级自主招生）如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB＝，AD＝1+，CD＝2，则BC边的长为（　　） A．2﹣ B． C． D． 【分析】作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，AH⊥DF于H，如图，先计算出∠ABE＝45°，∠DCF＝60°，再利用等腰直角三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系计算出AE＝BE＝AB＝，CF＝，DF＝，接着利用四边形AHFE为矩形得到AH＝EF，HE＝AE，所以DH＝，在Rt△ADH中，根据勾股定理计算出AH＝2+，则EF＝2+，然后计算EF﹣FC﹣BE即可． 【解答】解：作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，AH⊥DF于H，如图， ∵∠B＝135°，∠C＝120°， ∴∠ABE＝45°，∠DCF＝60°， 在Rt△ABE中，AE＝BE＝AB＝×＝， 在Rt△DCF中，CF＝CD＝，DF＝CF＝， 易得四边形AHFE为矩形， ∴AH＝EF，HE＝AE， ∴DH＝﹣＝， 在Rt△ADH中，AH＝＝＝＝（2+）＝2+， ∴EF＝2+， ∴BC＝EF﹣FC﹣BE＝2+﹣﹣＝2﹣． 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．解决此题的关键是构建直角三角形． 4．（4分）（2017•奉化市自主招生）如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，若∠ACB＝90°，BE＝4，AD＝7，则AB的长为（　　） A．10 B．5 C．2 D．2 【分析】设EC＝x，DC＝y，则直角△BCE中，x2+4y2＝BE2＝16，在直角△ADC中，4x2+y2＝AD2＝49，解方程组可求得x、y，在直角△ABC中，AB＝． 【解答】解：设EC＝x，DC＝y，∠ACB＝90°， ∴在直角△BCE中，CE2+BC2＝x2+4y2＝BE2＝16， 在直角△ADC中，AC2+CD2＝4x2+y2＝AD2＝49， 解得x＝2，y＝1． 在直角△ABC中，AB＝＝＝2． 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的灵活运用，考查了中点的定义，本题中根据直角△BCE和直角△ADC求DC．BC的长度是解题的关键． 5．（4分）（2015•长沙校级自主招生）在Rt△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝，PC＝5，则PB的值（　　） A． B． C．或 D． 【分析】先依据题意作一三角形，再结合图形进行分析，在等腰直角△ABC中，已知PA、PC，通过辅助线求出AD，DC及PD边的长，进而PB可求． 【解答】解：如图所示，过点B作BE⊥AC，过点P作PD，PF分别垂直AC，BE 在△APD中，PA2＝PD2+AD2＝5， 在△PCD中，PC2＝PD2+CD2，且AD+CD＝5 解得AD＝，CD＝，PD＝， 在Rt△ABC中，BE＝AE＝， 所以在Rt△BPF中，PB2＝PF2+BF2＝（）2+（﹣）2＝10， ∴PB＝． 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的运用．会画出简单的图形辅助解题． 6．（4分）（2013•船山区校级自主招生）