课时分层作业20 单调性的定义与证明-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word练习(人教B版)

课时分层作业(二十)　单调性的定义与证明 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是(　　) A.函数在区间[－5，－3]上单调递增 B．函数在区间[1，4]上单调递增 C．函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减 D．函数在区间[－5，5]上没有单调性 C　[由题图可知，f(x)在区间[－3，1]，[4，5]上单调递减，单调区间不可以用并集“∪”连接，故选C.] 2．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则有(　　) A．a≥　　 B．a≤ C．a> D．a< D　[函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则2a－1<0，即a<.故选D.] 3．函数y＝在[2，3]上的最小值为(　　) A．2　　　　B．　　　　D．－　　　　C． B　[∵函数y＝.故选B.]＝在[2，3]上单调递减，∴当x＝3时，函数的最小值为 4．如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为(　　) A．b＝3　　　B．b≥3　　　　C．b≤3　　　D．b≠3 C　[函数f(x)＝x2－2bx＋2的图像是开口向上，且以直线x＝b为对称轴的抛物线，若函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b≤3，故选C.] 5．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，a，b∈R且a＋b≤0，则下列选项正确的是(　　) A．f(a)＋f(b)≤－[f(a)＋f(b)] B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b) C．f(a)＋f(b)≥－[f(a)＋f(b)] D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b) D　[因为a＋b≤0，所以a≤－b或b≤－a， 又函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数， 所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)， 所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b).故选D.] 二、填空题 6．函数f(x)＝，则b＝________．在[1，b](b>1)上的最小值是 4　[因为f(x)＝，所以b＝4.]＝在[1，b]上是减函数，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝ 7．若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________． [－1，＋∞)　[函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)，又f(x)在(a，＋∞)上单调递减，所以a≥－1.] 8．已知f(x)在定义域内是减函数，且f(x)>0，在其定义域内下列函数为单调增函数的是________． ①y＝a＋f(x)(a为常数)；②y＝a－f(x)(a为常数)； ③y＝；④y＝[f(x)]2. ②③　[f(x)在定义域内是减函数，且f(x)>0时，－f(x)，均为递增函数，故选②③.] 三、解答题 9．判断函数f(x)＝在区间(1，＋∞)上的单调性，并用单调性定义证明． [解]　函数f(x)＝在区间(1，＋∞)上单调递减．证明如下：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－1）)－1）（x,（x－x－1)＝－1)－ ＝－1）).－1）（x ∵x1＜x2，∴x2－x1＞0. 又x1，x2∈(1，＋∞)， ∴x2＋x1＞0，x－1＞0.－1＞0，x ∴－1）)＞0，即f(x1)＞f(x2).－1）（x ∴f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减． 10．求函数f(x)＝x＋在[1，4]上的最值． [解]　设1≤x1<x2<2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋.＝＝(x1－x2)＝(x1－x2)·＝x1－x2＋－x2－ ∵1≤x1<x2<2，∴x1－x2<0，x1x2－4<0，x1x2>0， ∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1，2)上是减函数． 同理f(x)在[2，4]上是增函数． ∴当x＝2时，f(x)取得最小值4；当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5. 11．定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，则(　　) A．f(3)<f(2)<f(1)　　　 B．f(1)<f(2)<f(3) C．f(2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(2) A　[对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，则f(x)在R上是减函数．又3>2>1，则f(3)<f(2)<f(1).故选A.] 12．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，3) B．(0，3] C．(0，2) D．(0，2] D　[由题意知实数a满足解得0＜a≤2，故实数a的取值范围为(0，2].] 13．(一题两空)函数f(x)＝＋1的单调增区间是