课时分层作业17 均值不等式的应用-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word练习(人教B版)

课时分层作业(十七)　均值不等式的应用 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．若a＞1，则a＋的最小值是(　　) A．2　　　　B．a　　　　C．　　　　D．3 D　[∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋时，即a＝2时取等号．故选D.]＋1＝3.当且仅当a－1＝＋1≥2＝a－1＋ 2．已知x＜0，则y＝x＋－2有(　　) A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 C　[∵x<0，∴－x＞0，∴y＝－，即x＝－1时取等号．故选C.]－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝ 3．设x＞0，则y＝的最大值是(　　) A．3 B．－3 C．3－2 D．－1 C　[∵x＞0，∴y＝3－时，等号成立．故选C.]，且x＞0，即x＝，当且仅当3x＝＝3－2≤3－2 4．若x＞0，y＞0，且＝1，则x＋y的最小值是(　　)＋ A．3 B．6 C．9 D．12 C　[x＋y＝(x＋y)·＋4＋＝1＋ ＝5＋＝5＋4＝9.≥5＋2＋ 当且仅当 即时等号成立，故x＋y的最小值为9.故选C.] 5．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　) A．16 B．25 C．9 D．36 B　[(1＋x)(1＋y)≤ ＝＝25， ＝ 当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时， (1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B.] 二、填空题 6．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为________． [答案]　1 7．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2. 56　[设阴影部分的竖边长为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2. 由题意，得y＝(x＋4)－72 ＝8＋2＝56(dm2).≥8＋2×2 当且仅当x＝， 即x＝12 dm时等号成立．] 8．若a，b∈(0，＋∞)，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是________． [6，＋∞)　[∵a＋b＋3＝ab≤， ∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－2(舍去)，当且仅当a＝b＝3时取等号．] 三、解答题 9．当x<的最大值．时，求函数y＝x＋ [解]　y＝＋(2x－3)＋ ＝－， ＋ ∵当x<时，3－2x>0， ∴.，故函数有最大值－＝－时取等号．于是y≤－4＋，即x＝－＝＝4，当且仅当≥2＋ 10．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用) [解]　设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得 y＝2x－＝118－ ＝118－ ＝130－ ≤130－2＝130－112＝18(千元)， 当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时取等号． 所以提前11天完工，能使公司获得最大附加效益． 11．若－4<x<1，则y＝(　　) A．有最小值1　　　 B．有最大值1 C．有最小值－1 D．有最大值－1 D　[y＝， ＝ 又∵－4<x<1，∴x－1<0.∴－(x－1)>0. 故y＝－≤－1. 当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．故选D.] 12．已知x>0，y>0，且＝1，若x＋2y>m2恒成立，则实数m的取值范围是(　　)＋ A．m≤－2 B．m≤－4或m≥2或m≥2 C．－2＜m＜4 D．－2＜m＜2 D　[∵x>0，y>0且＝1， ＋ ∴x＋2y＝(x＋2y)＋＝4＋ ≥4＋2， ＝＝8，当且仅当 即x＝4，y＝2时取等号， ∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2恒成立， 只需(x＋2y)min>m2恒成立， 即8>m2，解得－2.故选D.]<m<2 13．在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝，则这两个数分别为________．＋ 4，12　[设＝1，a，b∈N*， ＋ ∴a＋b＝(a＋b)·1＝(a＋b) ＝1＋9＋＋ ≥10＋2 ＝10＋2×3＝16， 当且仅当，即b＝3a时等号成立．＝ 又＝1，∴a＝4，b＝12.＋＝1，∴＋ 这两个数分别是4，12.] 14．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是 ________． (x＋y)2≤1.＋1，∴　[x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1，∴(x＋y)2＝xy＋1≤ ∴－时等号