专题03 均值不等式及其应用（题型专练）高一数学人教B版必修第一册

**基本信息** 以“理解-应用-拓展”为主线，系统构建均值不等式从概念辨析到实际应用的7类题型方法体系，突出数学思维的推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |对均值不等式的理解|1典例+3变式|强调定理条件与“当且仅当”含义|从概念本质出发，夯实应用前提| |比较大小|1典例+3变式|明确不同形式均值不等式的适用条件|结合不等式性质，强化条件判断| |证明不等式|1典例+3变式|累加法与模型重组策略|培养逻辑推理，构建证明思路| |求最值|1典例+3变式|拆项、并项、配凑定值法|掌握变形技巧，提升运算能力| |常数代换求条件最值|1典例+3变式|“1”的构造与定值转化四步法|深化条件应用，发展转化思想| |解应用题|1典例+3变式|四步建模法（抽象-建模-求解-结论）|强化模型意识，联系现实情境| |恒成立问题|1典例+4变式|参数分离与最值分析|综合应用能力，提升数学眼光|

专题04均值不等式及其应用 （题型突破·举一反三） 题型01 对均值不等式的理解 题型02 利用均值不等式比较大小 题型03 利用均值不等式证明不等式 题型04 利用均值不等式求最值 题型05 常数代换法求条件最值 题型06 利用均值不等式解应用题 题型07 均值不等式恒成立问题 ▌题型01 对均值不等式的理解 1.均值不等式≥（a＞0，b＞0）反映了两个正数的和与积之间的关系. 2.对均值不等式的掌握要抓住以下两个方面： （1）定理成立的条件是a，b都是正数； （2）“当且仅当”的含义：当a＝b时，≥的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. 【典例1】已知，，且，则下列结论恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为和同号，所以．故选：C. 【变式1】（25-26高二下·海南·期末）下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即，无解，等号不成立． 故选. 【变式2】下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A：若，则恒成立，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B：若，则，则，故B错误； 对于C：因为， 又因为，故成立，故C正确； 对于D：若，则，此时，故D错误. 故选：C． 【变式3】（25-26高一上·湖南岳阳·期中）下列结论正确的是（　　） A．当且时， B．当时， C．当，的最小值为2 D．当时，的最小值为2 【答案】B 【解析】选项A，因为，所以不满足“取等号时的条件”，故A不正确； 选项B，由，当且仅当等号成立，故B正确； 选项C，因为，不满足“各项必须为正”，所以当时，的最小值不可能为2，故C不正确； 选项D，当时，，所以的最小值不可能为2，故D不正确. 故选：B ▌题型02 利用均值不等式比较大小 运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a＞0，b＞0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b. 【典例2】（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若，，且，则，，2ab，中最小的一个是（   ） A．2ab B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，且，，， ，由条件可知，，则， 所以，即，所以四个数中最小的是.故选：A 【变式1】已知，设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【解析】，当且仅当时，等号成立，故. 【变式2】（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确.故选：C. 【变式3】（25-26高一上·上海·阶段检测）下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，取，，C错误； 对于D，取，，D错误.故选：A ▌题型03 利用均值不等式证明不等式 利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项 （1）策略：从已知不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”； （2）注意事项：①多次使用均值不等式时，要注意等号能否同时成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，构成均值不等式模型再使用. 【典例3】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，且，求证： (1)； (2)． 【解】（1）对，有，所以，平方得， 所以，当且仅当时，等号成立，得证． （2）证明，即证，也即证， 只需证，即证，即证，由（1）可知成立， 所以成立． 【变式1】（25-26高一上·宁夏石嘴山·阶段检测）选用恰当的证明方法证明下列不等式． (1)已知，求证：； (2)已知，求证：． 【解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以； （2） ， 因为，所以，所以， 所以，即. 【变式2】已知正数，，满足：，求证：． 【解】． 根据柯西不等式，有 ， ，当且仅当时，等号成立． 【变式3】已知，，，求证：． 【解】，，，，． 两式相乘，得到． 另证：根据柯西不等式，得 ． ▌题型04 利用均值不等式求最值 利用均值不等式求最值的方法 　　利用均值不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值.常见的变形方法有拆、并、配. （1）拆——裂项拆项：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用均值不等式凑定值创造条件； （2）并——分组并项：目的是分组后各组可以单独应用均值不等式，或分组后先对一组应用均值不等式，再在组与组之间应用均值不等式得出最值； （3）配——配式配系数：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用均值不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的两因式之和为定值. 【典例4】（25-26高二下·福建福州·期末）设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】因为，所以， 则，s时，等号成立， 故函数的最小值为5. 【变式1】（25-26高二下·江西南昌·期末）的最小值为（    ） A． B．9 C．8 D． 【答案】B 【解析】， 当且仅当，即时取等. 【变式2】（25-26高一下·河南信阳·期中）的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【解析】因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 【变式3】（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）求的最大值（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 【答案】A 【解析】法一：因为， 所以当时取得最大值. 法二：因为，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为.故选：A ▌题型05 常数代换法求条件最值 常数代换法求最值的方法步骤 （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； （4）利用均值不等式求最值. 【典例5】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 【答案】C 【解析】已知，，且， ， 当且仅当，结合得时等号成立，的最小值为． 【变式1】（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，且， 所以， 当且仅当且时等号成立，由得（舍去）， 代入，解得， 所以当时，的最小值为. 【变式2】（25-26高一上·新疆·期末）若正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．72 B．57 C．50 D．64 【答案】D 【解析】， 当且仅当，即，时，等号成立，则的最小值为． 【变式3】（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】因，，满足，则， 于是 ，当且仅当时，即，等号成立， 故的最小值是.故选：C ▌题型06 利用均值不等式解应用题 利用均值不等式求实际问题中最值的4步骤 （1）阅读理解材料：理解材料中的文字语言、图形语言及符号语言，将实际问题抽象成数学模型； （2）建立数学模型：把实际问题用符号语言、图形语言抽象成数学模型，并且建立所得数学模型和已知均值不等式数学模型的对应关系，构造出符合题意的数学模型； （3）解数学模型：按照数学知识（均值不等式求最值的方法）解均值不等式求最值； （4）写出问题结论：根据所求结果，结合题目要求，写出问题的结论. 【典例6】（25-26高一上·北京·阶段检测）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【解析】设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ， 令，则， ，当且仅当，即时取等号， 该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元． 故选：B． 【变式1】（25-26高二下·云南·期末）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 【答案】B 【解析】设水池底部长宽分别为米，则， 所以水池总造价为， 当且仅当时等号成立，故总造价最小值为元. 故选：B 【变式2】（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）设计用的材料制造某种长方体车厢（无盖），按交通法规定厢宽为2m，则车厢的最大容积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设长方体车厢（无盖）的长为，高为，， 则由题得，即， 所以， 即，当且仅当时等号成立， 由，解，得，即， 因为车厢的容积为且，仅当时等号成立，所以车厢的最大容积是. 故选：D. 【变式3】（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以. 故 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元. 故选：B ▌题型07 均值不等式恒成立问题 求参数的值或取值范围的一般方法 （1）分离参数，转化为求代数式的最值问题； （2）观察题目特点，利用基本不等式确定成立条件，从而求得参数的值或取值范围； （3）注意等号的取舍，防止失误. 【典例7】（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 【答案】A 【解析】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5. 【变式1】（25-26高二下·安徽蚌埠·期末）已知正数x，y满足．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以. 所以对于，可以看作， 因为，当且仅当时成立，所以， 解得. 【变式2】（25-26高一下·安徽合肥·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故，即，解得， 即实数的取值范围是. 【变式3】（25-26高一上·陕西西安·期末）已知实数，，且恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】变形为， 则， 由均值不等式，，故， 当即，时代入原方程，解得时等号成立 因为恒成立，所以，解得. 故选：A. 【变式4】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知，，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为恒成立，故，即，解得， 因此，实数的取值范围是.故选：A. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04均值不等式及其应用 （题型突破·举一反三） 题型01 对均值不等式的理解 题型02 利用均值不等式比较大小 题型03 利用均值不等式证明不等式 题型04 利用均值不等式求最值 题型05 常数代换法求条件最值 题型06 利用均值不等式解应用题 题型07 均值不等式恒成立问题 ▌题型01 对均值不等式的理解 1.均值不等式≥（a＞0，b＞0）反映了两个正数的和与积之间的关系. 2.对均值不等式的掌握要抓住以下两个方面： （1）定理成立的条件是a，b都是正数； （2）“当且仅当”的含义：当a＝b时，≥的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. 【典例1】已知，，且，则下列结论恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·海南·期末）下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 【变式3】（25-26高一上·湖南岳阳·期中）下列结论正确的是（　　） A．当且时， B．当时， C．当，的最小值为2 D．当时，的最小值为2 ▌题型02 利用均值不等式比较大小 运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a＞0，b＞0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b. 【典例2】（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若，，且，则，，2ab，中最小的一个是（   ） A．2ab B． C． D． 【变式1】已知，设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【变式2】（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·上海·阶段检测）下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． ▌题型03 利用均值不等式证明不等式 利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项 （1）策略：从已知不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”； （2）注意事项：①多次使用均值不等式时，要注意等号能否同时成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，构成均值不等式模型再使用. 【典例3】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，且，求证： (1)； (2)． 【变式1】（25-26高一上·宁夏石嘴山·阶段检测）选用恰当的证明方法证明下列不等式． (1)已知，求证：； (2)已知，求证：． 【变式2】已知正数，，满足：，求证：． 【变式3】已知，，，求证：． ▌题型04 利用均值不等式求最值 利用均值不等式求最值的方法 　　利用均值不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值.常见的变形方法有拆、并、配. （1）拆——裂项拆项：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用均值不等式凑定值创造条件； （2）并——分组并项：目的是分组后各组可以单独应用均值不等式，或分组后先对一组应用均值不等式，再在组与组之间应用均值不等式得出最值； （3）配——配式配系数：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用均值不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的两因式之和为定值. 【典例4】（25-26高二下·福建福州·期末）设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】（25-26高二下·江西南昌·期末）的最小值为（    ） A． B．9 C．8 D． 【变式2】（25-26高一下·河南信阳·期中）的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【变式3】（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）求的最大值（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 ▌题型05 常数代换法求条件最值 常数代换法求最值的方法步骤 （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； （4）利用均值不等式求最值. 【典例5】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 【变式1】（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·新疆·期末）若正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．72 B．57 C．50 D．64 【变式3】（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 ▌题型06 利用均值不等式解应用题 利用均值不等式求实际问题中最值的4步骤 （1）阅读理解材料：理解材料中的文字语言、图形语言及符号语言，将实际问题抽象成数学模型； （2）建立数学模型：把实际问题用符号语言、图形语言抽象成数学模型，并且建立所得数学模型和已知均值不等式数学模型的对应关系，构造出符合题意的数学模型； （3）解数学模型：按照数学知识（均值不等式求最值的方法）解均值不等式求最值； （4）写出问题结论：根据所求结果，结合题目要求，写出问题的结论. 【典例6】（25-26高一上·北京·阶段检测）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式1】（25-26高二下·云南·期末）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 【变式2】（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）设计用的材料制造某种长方体车厢（无盖），按交通法规定厢宽为2m，则车厢的最大容积是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． ▌题型07 均值不等式恒成立问题 求参数的值或取值范围的一般方法 （1）分离参数，转化为求代数式的最值问题； （2）观察题目特点，利用基本不等式确定成立条件，从而求得参数的值或取值范围； （3）注意等号的取舍，防止失误. 【典例7】（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 【变式1】（25-26高二下·安徽蚌埠·期末）已知正数x，y满足．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一下·安徽合肥·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·陕西西安·期末）已知实数，，且恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知，，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $