课时分层作业16 均值不等式-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word练习(人教B版)

课时分层作业(十六)　均值不等式 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是(　　) A．s≥t　 B．s>t C．s≤t D．s<t A　[∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1.] 2．下列不等式中正确的是(　　) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C．≥2 D．x2＋≥ D　[若a＜0，则a＋，故C错；＜≥4不成立，故A错；取a＝1，b＝1，则a2＋b2＜4ab，故B错；取a＝4，b＝16，则 由均值不等式可知D项正确．] 3．已知a>0，b>0，则下列不等式中错误的是(　　) A．ab≤ B．ab≤ C．≤ D．≥ D　[由均值不等式知A、C正确，由重要不等式知B正确，由，故选D.]≥，∴≥ab得，ab≤ 4．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是(　　) A．a＞b＞ ＞ B．a＞＞b＞ C．a＞＞b＞ D.a＞＞b＞ B　[a＝＝b，因此只有B项正确．]＞＞＞ 5．若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　) A．≤1＋ B．＞ C．≤≥2 D． D　[由，故A错；≥≤2得ab≤4，∴ B中，≥1，故B错；＝＝＋ 由a＋b＝4，得＝2，故C错；＝≤ 由＝8， 得a2＋b2≥2×≥ ∴，D正确．]≤ 二、填空题 6．已知a＞b＞c，则的大小关系是________．与 .]＝≤　[∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，∴≤ 7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________． x≤　[用两种方法求出第三年的产量分别为 A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b). ∴1＋x＝， ＝1＋≤ ∴x≤.当且仅当a＝b时等号成立．] 8．已知函数y＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________． 36　[y＝4x＋＝3，即a＝36.]，∴.又由已知x＝3时，ymin＝4时等号成立，此时y取得最小值4，即x＝(x>0，a>0)，当且仅当4x＝＝4≥2 三、解答题 9．已知a，b为正实数，且a＋b＝1.求证：≥4.＋ [证明]　由题意a，b为正实数，则＋1＋＝1＋＋＝＋ ＝2＋＝4.≥2＋2＋ 当且仅当a＝b时“＝”成立． 10．已知a，b，c为正数，求证：≥3.＋＋ [证明]　左边＝－1＋－1＋＋－1＋＋ ＝－3.＋＋ ∵a，b，c为正数， ∴≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)；＋ ≥2(当且仅当a＝c时取“＝”)；＋ ≥2(当且仅当b＝c时取“＝”).＋ 从而≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号).＋＋ ∴－3≥3， ＋＋ 即≥3.＋＋ 11．下列不等式一定成立的是(　　) A．x＋≥≥2　　　　　 B． C．≥2≥2 D．2－3x－ B　[A项中当x<0时，x＋<0<2，∴A错误． B项中，，∴B正确．≥＝ 而对于C，当x＝0时，<2，显然选项C不正确．＝ D项中取x＝1，2－3x－<2，∴D错误．] 12．(多选题)设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　　) A．ab＞1 B．ab＜1 C．＞1＜1 D． BD　[因为ab≤，a≠b，所以ab＜1， 又1＝， ＜＝ 所以.]＞1，所以ab＜1＜ 13．设p＝(b＞a＞0)，则p，q，r的大小关系是________．，r＝，q＝ r＞q＞p　[∵b＞a＞0，∴a2＋b2＞2ab， ∴2(a2＋b2)＞(a＋b)2， ∴， ＞ ∴.＞ 又∵， ＞ ∴，即r＞q＞p.]＞＞ 14．设a，b为非零实数，给出不等式： ①≥2.＋；④≥；③≥≥ab；② 其中恒成立的不等式是________． ①②　[由重要不等式a2＋b2≥2ab可知①正确； ②＝ ＝≥ ＝，可知③不正确；令a＝1，b＝－1可知④不正确．]＝－＝－1，右边为，故②正确；对于③，当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝ 15．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞.＋＋ [证明]　∵a＞0，b＞0，c＞0，∴.由于a，b，c不全相等，∴等号不成立， ＋＋，即a＋b＋c≥＋＋≥＋＋，∴≥，≥，≥ ∴a＋b＋c＞.＋＋ 1 $