专题13 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-【必考锦集】2021-2022学年高一数学同步考点锦集（北师大版必修1）

专题13指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 【学习目标】 1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异． 2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增大等几类不同的增长和函数模型的意义． 3．通过本节内容的学习，培养用函数的观念、思想和方法去理解、解决实际问题的意识，感悟到现实世界中数学无处不在，世界是数学的物化形式，数学是世界的精髓． 【考点梳理】 考点一：几类函数模型的增长差异 一般地，对于指数函数 和幂函数 ，通过探索可以发现，在区间 上，无论 比 大多少，尽管在 的一定范围内， 会小于 ，但由于 的增长快于 的增长，因此总存在一个 ，当 时，就会有 EMBED Equation.DSMT4 ．同样地，对于对数函数 增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与 轴平行一样，尽管在 的一定范围内， 可能会大于 ，但由于 的增长慢于 的增长，因此总存在一个 ，当 时，就会有 ． 综上所述，在区间 上，尽管函数 、 和 都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着 的增大， 的增长速度越来越快，会超过并远远大于 的增长速度，而 的增长则会越来越慢，因此总会存在一个 ，当 时，就有 三类函数模型增长规律的定性描述： 1．直线上升反映了一次函数（一次项系数大于零）的增长趋势，其增长速度不变（恒为常数）； 2．指数爆炸反映了指数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度迅速（越来越快）； 3．对数增长反映了对数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度平缓（越来越慢）． 如图所示： 【微点拨】 当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快． 考点二：利用函数的增长规律在实际问题中建立函数模型 若实际问题的增长规律与一些常见函数的增长规律相吻合，则可在实际问题中建立相应的函数模型，确定其系数，便得到相应的函数模型，从而完成建模． 常用的函数模型有以下几类： （1）线性增长模型： ；（2）线性减少模型： ． （2）二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数 ；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数 ． （3）指数函数模型 （a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1），当 时，为快速增长模型；当 时，为平缓减少模型． （4）对数函数模型 （m、n、a为常数，a＞0，a≠1）；当 时，为平缓增长模型；当 时，为快速减少模型． （5）反比例函数模型 ．当 时，函数在区间 和 上都是减函数；当 时，函数在 和 上都是增函数． （6）分段函数模型 当自变量在几个区间上的函数关系式不相同时，问题应用分段函数来解决． 【典型例题】 类型一、研究函数的变化规律并比较其大小 例1. 当x＞0时，比较 ， ， 的大小． 【解析】作出函数 ， ， 的图象（如下图所示）． 由二分法可得，方程 的解为x=0.5，方程 的近似解为x=0.64118574，方程 的近似解为x=0.587774756． 由图象及上述近似解可知，当0＜x＜0.5时， ；当x=0.5时， ；当0.5＜x＜0.587774756时， ； 当x=0.587774756时， ； 当0.587774756＜x＜0.64118574时， ； 当x=0.64118574时， ； 当x＞0.64118574时， ． 【总结】本例归纳到一般有如下规律：在区间（0，+∞）上，尽管函数y=ax（0＜a＜1）、y=logax（0＜a＜1）和y=xn（n＜0）都是减函数，但它们的衰减速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y=logax（0＜a＜1）的衰减速度越来越快，直至负值，因而远远大于y=ax（0＜a＜1）与y=xn（n＜0）的衰减速度．而y=ax（0＜a＜1），y=an（n＜0）都是在正值范围内衰减，随着x的不断增长，两者的衰减速度差距越来越小，其中y=an（n＜0）的衰减速度会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有xn＞ax＞logax． 【变式1】 比较 、 、 的大小． 【答案】 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 【解析】分别画出 的图象，可得结论． 类型二、利用几类函数的变化规律建立函数模型 例2．某种树苗栽种时高度为A(A为常数)米，栽种n年后的高度记为f(n)．经研究发现，f(n)近似地满足 ，其中 ，a，b为常数，n∈N，f(0)＝A.已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．问：栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍． 【答案】9 【解析】由题意知f(0)＝A，f(3)＝3A. 所以 ，解得a＝1，b＝8. 所以 ，其中 . 令f(n)