专题12 对数函数-【必考锦集】2021-2022学年高一数学同步考点锦集（北师大版必修1）

专题12对数函数 【考点梳理】 考点一、对数概念 1.对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 【微点拨】： 对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a>0 且a1， N>0， bR. 2.对数具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即； (2)1的对数为0，即； (3)底的对数等于1，即. 3．两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数， . 4．对数式与指数式的关系 由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示. 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. 考点二、对数的运算法则 已知 (1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： (2) 两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； (3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 【微点拨】： （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的. （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： loga(MN)=logaMlogaN， loga(M·N)=logaM·logaN， loga. 考点三、对数公式 1．对数恒等式： 2．换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有: (1) 令 logaM=b， 则有ab=M， (ab)n=Mn，即， 即，即:. (2) ，令logaM=b， 则有ab=M， 则有 即， 即，即 当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论: . 考点四、对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 考点五、对数函数的图象和性质 1.对数函数的图象和性质 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表 y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时， y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 2.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．它们的定义域与值域正好互换． 3.对数型函数的性质及应用 a. y＝logaf(x)型函数性质的研究 (1)定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域． (2)值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域． (3)单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定．(或运用单调性定义判定) (4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定． (5)最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值． b. logaf(x)<logag(x)型不等式的解法 (1)讨论a与1的关系，确定单调性． (2)转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零． 考点六、三种常见函数模型的增长差异 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax (a>1) y＝kx (k>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 随x的增大匀速上升 增长速度 y＝ax的增长快于y＝kx的增长，y＝kx的增长快于y＝logax的增长 增长后果 会存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax 【典型例题】 典例一、指数式与对数式互化及其应用 例1.将下列指数式与对数式互化： (1)；(2)；(3)； (4)；(5)；(6). 【变式1】求下列各式中x的值： (1) (2) (3)lg1000=x (4)