微专题：有关充要条件的证明 -2021-2022学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册

用微视角：将零散的知识，系统化、网络化、规律化 微专题：有关充要条件的证明 【主题】 有关充要条件的证明，要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”； 【典例】 例1、设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0； 例2、若实数a，b满足 ， ，且 ，则称a与b互补记 ，那么“ ”是“a与b互补”的 条件；（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 例3、求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0； 【即时练习】 1、求证：ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0。 2、已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c∈R，且a≠0)．证明方程f(x)＝0有两个不相等的实数根的充要条件是：存在x0∈R，使af(x0)＜0． 3、探求：关于x的方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有两个大于1的实数根的充要条件。 【教师版】 微专题：有关充要条件的证明 【主题】 有关充要条件的证明，要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”； 【典例】 例1、设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0； 【提示】注意认真审题；在本题中“条件”是：xy≥0；“结论”是：|x＋y|＝|x|＋|y|； 【证明】①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况， 当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，所以，等式成立； 当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时， 又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以，等式成立； 当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，所以，等式成立； 总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立； ②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2， 即x2＋2