06盘点三角形中的不等问题-《中学生数理化》高二数学2021年9月刊

中学生数理代三数学经魏率方法 盘点三角形中的不等问题 甘肃省嘉峪关市第一中学卢会玉 根据条件确定三角形中角、边、周长或面式求最值。本题如果角B是特殊角 积的取值范围是解三角形中较难的一类问 题。下面从五个方面对三角形中的不等问题4cos(A-C)+1可以变形为只含有角A或 进行全面分析,总结解决这类问题的思想与角C的式子进行解答,过程会更加简捷一些 方法,发现不论三角形中遇到的不等问题是 例2锐角△ABC中,内角A,B,C 边、角范围,抑或是周长、面积范围等,常常要的对边分别为a,b,c,且满足(a-b)(sinA 借助重要不等式或三角函数的给定区间求值 sinB)=(c-b)sinC,求sin2B+sin2C的 域解决范围或最值问题 取值范围。 有关角或角的三角函数的范围问题 解析:已知(a-b)(sinA+sinB)=(c 例/△ABC的面积为S,BA·BC= b)sin c 由正弦定理可得,(a-b)(a+b)=(c 万,求sinA+sinC的取值范图 b)c,可化为b2+c2-a2=bc 由余弦定理可得 解析:由 be 解得A 因此,sin2B+sin2C=sin2B+sin2(A 又cos2B+sin2B=1,解得cosB 1-COs 2(B+I Os 2A 1-COs(A+C)+(A-C) 6 由锐角△ABC,可得B∈(x,x),则 1-COsL(A+C)-(A-C) 所以sin(2B ∈ C). cOs(A-C)+1-cos Bcos(A-C)+1 6∈(6 因为0<A<x-B,0<C<π-B,所以 因此,n:B+inC∈(4,2 当A=C时,cos(A-C) 二、有关边的范围问题 例3在△ABC中,若3sin 分析可知,16≤4c0s(A-C)+1≤4,2simB,点E,F分别是AC,AB的中点,则 即snA+snC的取值范围是(16,4」 的取值范围为 点评:求三角函数式的范围一般是先确 解析:设AB=c,AC=b,BC=a。 定角的范围,然后利用三角函数的单调性及 因为E,F分别是AC,AB的中点,所以 有界性求范围与最值,有时也利用基本不等coOs∠AEB+cos∠CEB=0 酸方片中學生数理化 由余弦定理可得c2+a2=2BEyb2 理得 A,=sinC,则锐角△ABC 同理b2+a2=2CF2 中C 因为3sinC=2sinB,所以由正弦定理 记△ABC周长为l,则l=2 可得3c=2b。 则2BE SIn 18 又A+B 所以l=2+sinA+ 所以 CF 18+1A/b12= 126+98 fate 因为△ABC为锐角三角形,则A,B,C 设 t,结合 b,及{a+c>b,可 都为锐角,从而可得A∈ 6’2),所以t∈ (2+2/3,6]。 得 点评:周长问题也可看成是边长问题的 所以BE 135 CF2126+981214°令f(t)= 延伸,所以在解决周长相关问题时,着眼于边 长之间的关系,结合边长求最值(范围)的解 126+98214·当t∈ 53)时,∫()为单决方式,通常都能找到正确的解题途径。 四、有关面积的范围问题 调递减函数,从而 126+98t 侧5如图1,在等腰直 角三角形OPQ中,∠POQ 90°,OP=22,点M在线段 PQ上。若点N在线段MQ 点评:本题主要考查三角形中位线定理 求范围问题,属于难题。求范围POM取何值时,△OMN 图 的面积最小?并求出面积的最小值。 问题的常见方法有:①配方法;②换元法;③ 解析:设∠POM=a,0°≤a≤60°。 不等式法;④图像法;⑤函数单调性法,将问 在△OMP中,由正弦定理,得 题转化为关于某一参变量的函数后,首先确 定画数的定义域,然后准确地找出其单调区m∠OPM=sn∠OMP:所以OM 间,最后再根据其单调性求函数的值域。本 OP sin 45 sin(45°+a) 题就是先将六表示为关于t的函数,再根据 在△ONP中,同理可得ON 方法⑤解答的。 三、有关周长的范围问题 sin(75°+a)° 侧4在锐角△ABC中,c=2, 故S△MN=2×OM× ON X Sin∠MO 2 c sin a,求△ABC的周长的取值范围。 OP 4 4 sin(45+a)sin(75+a) 解析:由题可得a=sinA,由正弦定 sin(45°+a)sin(45°+a+30°) 中学生数理代三数学经魏率方法 BC边的中点)。 由外接圆的性质可得∠BOD=∠COD sin(45°+a) 2s1n(45°+a)+cos(45°+a) 不妨设外接圆的半径R=3,则OA=O 因为cos∠COD SI 1,DC=/OC-OD2=2/2。 以B( 则△ABC外接圆的方程为 4[1-cos(90+2a)]+4sin(9o+2a) 设A(m,n)。因为A=