07“算两次”在解三角形中的运用-《中学生数理化》高二数学2021年9月刊

酸方片中學生数理化 两在样角形中的运角 ■福建省德化第一中学陈玉兰吴志鹏(正高级教师) “算两次”原理,就是从两个不同的角度 故6sinA+sinC=S。② 或用两种不同的方法、途径表示同一数学对 由①②得,37-12cs(A+C)=S2+25。 象,根据结果的唯一性,得到方程的方法,也 所以S2=12-12cos(A+C)≤12+12 叫“富比尼”原理。华东师范大学单增教授将24.S≤2/6,等号成立的条件是cos(A+C) 算两次”原理的解题程序概括为三部曲 1,即A+C=π,此时四边形ABCD为圆 方面,另一方面,综合可得。”“算两次”在运用内接四边形 的过程中要求同学们能用数学的眼光看问 所以Smx=2/6 题,找寻等量关系,对同学们的数学抽象、数 点评:本题选取了两个三角形的公共 学建模等思维能力提出了较高要求,只要是“边”为切入口,在不同的三角形中,利用余弦 列方程,均离不开“算两次”原理。其实我们 定理两次表示边BD,即在△ABD中,BD2 也可将“算两次”中表示同一数学对象拓展为 32+42-2×3×4×cosA=25-24cosA, 表示相关对象即表示存在特定关系的边、角 在△CBD中,BD2=22+ 2×2×1 或面积,通过“算两次”的方法找到解决问题 cosC=5-4cosC,两次运算,得到6cosA 的关键点。 cosC=5,获知两角之间的关系。 、“边”算两次 变式:如图2,在四 1.同一边算两次 边形ABCD中,AD⊥ BC=2/3,BD=3+/6 ABCD中,AB △BCD的面积为S= 求四边 ABC为 图 形ABCD面积的最大值 锐角。 解析:在△ABD (1)求CD的值; 3×4×cosA=25-24cosA。 (2)求∠ABC的值 在△CBD中,BD2=22+12-2×2×1× 解析:(1)CD=3(过程略)。 cOs C=5-4cos C (2)在△BCD中,由正弦定理得 所以25-24cosA=5-4cosC,即6cos cosC=5。① sin∠ BDC sin.∠CBD即2/3 sin∠BDC S=-×3×4×sinA+×2×1 ,解得sin∠BDC= 中学生数理代三数学经魏率方法 因为BC<BD,所以∠BDC也为锐角 (2)设∠ACB=0,则∠DAC=20 6 在△ACD中,根据正弦定理,得 sin∠ DAC sin∠ADC° 在△ACD中,由正弦定理得sin∠ADC ACsin 20 也即 即 SIn sin∠CAD COS sin∠CAD 在Rt△ABC中,由AC 在△ABC中,由正弦定理得sn∠A ACsin 6。 sin∠ BAC sin∠ ABC sin∠BAC。② 因为DC=3AB,所以 因AC平分∠BAD,故∠CAD ∠BAC /3 ACsin 0,2sin Ocos 0=sin e 由①②得sin∠ABC cos∠BDC=2/,解得 因为sin0≠0,所以cos0 sin∠ABC=2 故cos∠ACB 因为∠ABC为锐角,所以∠ABC=45°。 点评:本题选取相关“边”DC,AB的表 点评:本题选取了三角形的公共“边”AC示为切入口,分别在两个不同的三角形中表 为切入口,分别在两个不同的三角形,利用正 弦定理表示AC,即在△ACD中,由正弦定 示,在△ACD中利用正弦定理 理得 sn∠ ADCsIn∠CAD,则A 可得 sin∠ CAIN∠ADC。又在△ABC中,由正n∠DAC;另一方面在Rt∠ 定理得AB= ACtinθ;通过两边的关系,获 弦定理得 n∠ ABC sin∠BAC,则AC= 得所求角的余弦值。 二、“角”算两次 sin∠ BAc sin∠ABC。综合可得cos∠BDC 1.同一角算两次 例3 2.相关边算两次 △ABC中ABB 图4 平面四边形ABCD AD为边BC 中,∠ABC 上的中线,若AD=,试求BC的长 DAC=2∠ACB 解析:设B 在△ABD中,由余弦定理可得cosB AB+BD-AD 5+4 (1)若∠ACB=,BC=/3,求BD的 2·AB·BD 32x 在△ABC中,由余弦定理可得cosB (2)若DC=/3AB,求cos∠ACB的值。 解析:(1)答案略 酸方片中學生数理化 因此,15+4x2=4x=3,解得 设CH AH=h=③ 而BC=2BD=9,即BC的长为9。 则tanB 点评:本题通过 ∠B为解题的切入口,分别在两个不同的 ,tan(丌 角形内利用余弦定理对角进行表示,构建方 程进行求解。解题的关键:寻找两个三角形x tanC。 的公共元素,在两个三角形内分别利用正弦 所以由tanC=tan2B,得: 定理、余弦定理、勾股定理进行边、角的表示, 获得等量关系,这是解题的关键点 2.相关角算两次 侧4在△ABC中,角