10一道2021年高考题的四种解法-《中学生数理化》高二数学2021年9月刊

中学生数理代薄练数学越心考A片爷案 一道2021年高考题的四种解法 ■山东省东营市胜利第二中学刘吉存 I.问题呈现 b- (2021年新高考Ⅰ卷第19题)记△ABC 同理cos∠CDB 2h 是内角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知 b2=ac,点D在边AC上, BAsin∠ABC 因为∠ADB=x-∠CDB,所以 (1)证明:BD (2)若AD=2DC,求cos∠ABC的值。 2.解法探究 以下解法略去第一问。试题第二问解法 整理得2a2+c2=1b2 所以 多,具有很好的区分度,关键是找到a与c的6a2-114c+3c2=0。以下略 关系。 解法三:向量法 解法一:利用∠C或∠A多算一次 由AD=2DC,设AD=2DC,所以BD 由题意知,BD=b,AD =+nx2 在△ABC,△BDC中分别用余弦定理,得 所以Bb2=(BA+2BC 9a+- ac cos∠ABC 又因为b2 或3c=2a。由余弦定理知,cos∠ABC 所以6a2-11ac+3c2=0。以下略 解法四:利用相似性。 由 BAsin∠ABC= a sin c,得 当c=3a时,cos∠ABC=7 >1不合题 sin c sin∠ABC° 意;当3c=2a时,cos∠ABC= 所以sn∠BDC=sinC=sm∠ABC 综上,cos∠ABC 故sin∠ABC n∠BDC,∠ABC BDC或∠ABC+∠BDC=。 解法二:利用∠ADB与∠CDB互补。 当∠ABC=∠BDC时,△ABCC 由题意知,BD=b,AD26 △BDC,得 所以cos∠ADB 当∠ABC+∠BDC=π时,∠ABC BDA,则△ABC∽△ADB,得2=b 所以3c=2a。以下略。 (责任编辑徐利杰)