05探究一道与三角形有关的最值范围问题-《中学生数理化》高二数学2021年9月刊

中学生数理代三数学经魏率方法 挢究一道与三角形有关的最值范围问题 ■河南省郸城县第一高级中学靳晗翔 解三角形问题一直是高考的热点,与解 因为A a=2,所以由余弦定理得 角形有关的最值、范围问题是高中数学的 难点,主要涉及三角形的周长、面积的最值 b2+c2-2bccos A 取值范围问题 ix 4=b+c2-bc=(b+c)-360 侧在△ABC中,设角A,B,C所对 (b+c)2 因为b>0,c>0,bc 的边长分别为a,b,c,且(c-b)sinC=(a b)(sinA+sinB)。 3(b+c) (1)求A; (2)若a=2,求△ABC周长的取值范 故b十c≤4 围 而b+c>a,则周长a+b+c∈(4,6 析:(1)在 解法3:数形结合(轨迹法)。 (a-b)(sinA+sinB),由正弦定理得 根据动点A的轨迹,利用几何意义求范 (c-b)c=(a-b)(a+b)。 围或最值 整理得c2+b2-a2=bc 因为A=3,a=2,所以由正弦定理得 所以cosA 又A∈(0,x),所以A 如图1,△ABC的外接 (2)解法1:利用正弦定理边化角,根据 2/3 角函数求范围或最值 圆的半径r 点A的 因为、a=2,所以由正弦定理得:轨迹是以BC=2为弦、半径k 的优 sina sin b sin o/3° 可得b+c>2,b=c时, 则b b+c的最大值为4 故b+c≤4,a+b+c∈(4,6]。 且B+C 所以△ABC的周长为 拓展1:若b=2,B=3,求△ABC面积 a+b+c 的最大值。 2+—(sinB+sinC) 解析:解法1:利用正弦定理边化角·根 据三角函数求范围或最值,过程略 2+sin B+sin(zT 解法2:先利用余弦定理找边角关系,再 利用基本不等式求最值,过程略。 2+sin(B+t 解法3:数形结合(轨迹法) 又B∈(0,3),所以a+b+c∈(4,6 根据动点B的轨迹,利用几何意义求范 围或最值。 解法2:先利用余弦定理找边角关系,再 因为B b=2,所以由正弦定理得 利用基本不等式求最值 酸方片中學生数理化 sin a sin b sin c3° 如图2,△ABC外接圆的半 因此,△ABC的面积为: 2/3 动点B的轨迹是 以AC=2为弦、半径r 图2 2sin C/ 3 2 的优弧ABC 设边AC的中点为M,而△ABC面积 ③sinC AC|h=h,h=|BH≤|OB| C sin c OM|,B,O,M三点共线时h最大,易得 S△ABC的最大值为/3。 tan C 2 拓展2:若a=2,A=,且△ABC为锐 角三角形,求△ABC周长的最大值。 由tanC>tan 知 ∈ tan 解析:由例题可知,△ABC的周长为 atb+c /3),2tanC+2 + sin B+sin( △ABC的面积S的取值范围是 2+4sin(B+6 因为A=2,△ABC为锐角三角形,所 解法2:数形结合利用几何意义求范围 或最值 C也为锐角 因为A=,b 则0 3 利用数形结合可知,当C sin(B+6)的最大值为1,所以△ABC 的最大值为4:当B=2,c的最小值为1。因 周长的最大值为6 为△ABC为锐角三角形,所以1<c<4,即 拓展3:若b=2,A=3,且△ABC为锐 △ABC的面积S的取值范围是(③,2 角三角形,求△ABC的面积S的取值范围。 解析:解法1:由△ABC为锐角三角形 方法提炼:与三角形有关的最值问题主 要涉及求三角函数值最值,周长、面积的最值 与范围问题。解决这类的问题方法有:①将 且A 所以 所给条件转化为三角函数,利用三角函数求 解最值;②将所给条件转化为边,利用基本不 解得 等式或者函数求解最值;③利用几何意义求 解或者利用动点的轨迹求最值。 因为b=2,由正弦定理得 (责任编辑徐利杰)