08 一道高考题再议圆锥曲线中直线过定点问题-《中学生数理化》高二数学2021年1月刊

中学生彀 道高考题再议圆锥曲线中直线过定点问题 ■湖北省沙市第七中学杨 R解直线或圆锥曲线过定点问題是近 年高考的热点题型。同学们解决直线与圆锥 直线CD的方程为y 学核心素养。20 卷第21题就是过定点闻题,我们借此机会再 次研究这类问题,探讨这类热点问题的解决 方法与技巧 整型得y 问题重现 3(32y(x-2),故直线CD过定点 别为椭圆E:+y2-1(a>1)的左,右顶 点,G为桶圆E的上顶点,A,石一8,P为 例2(2020年新高考)已知椭圆C 直线x=6上的动点,PA与梯园E的另一交x2 点为C.PB与横圆E的另一交点为D (1)求椭园E的方程; (2)证明:直线CD过定点 (1)求椭C的方程 解析;依锯题意作出 2)点M,N在椭C上,且AM⊥A (1)横圆方程为 得DQ|为定值 y2-1,过程略 解析:依据题意作出图2 学2)设P(6,y),则直 椭国方程为一 过程略 因为AM⊥ ① 整理得(y2+9)x2+6yx+9y2-81 与椭园方程可得,(2k 2m-8-0 3,可得点C的坐标为(二3计中,+) 同理,可得点D的坐标为2+1yy=(k,+m)(kr+m 代入①式得 中学生理化寄 化简可得(2k+n-1)(2k十3m+1)=MA,M的倾斜角互补,即∠MA=∠(M 0,据此可得2h=1-m或2h 综上,∠OMA=∠OMB 所以直线MN的方程为ykx+1-2 二,方法与技巧 解此类题的常见方法是联立消元法,依 题目条件设出相关参数.如设出 直线过定点(2,1)或截距,求出直线方程,联立直线与园锥曲线 利用根与系数的关系,把直线与圆锥曲线 程中的变 舍去,则直线过定点E(3一3 为零,将方程转化为以参数为主变量的方程 这个方程对任意参数都成立,这时参数的系 AE为Rt△AEP的斜边,令Q为AE的数就要全部等于零,这样就得到一个关于x 中点即Q(3·3),则1D0Q1=21AE为定的方程组,这个方组的解所确定的点就 值。故存在Q(3·3),使得DQ为定值 联立消元方法是解 决这一类问题的常见方 侧3(2018年新课标)设椭国C +y2=1的右焦点为F,过F的直线与巧与运算量。我们是否 椭国C交于A,B两点,点M的坐标为 可以尝试一下别的运算 1)当直线I与x轴垂直时,求直线 技巧与方法?尤其在题 的方程 日条件中给出斜率之积或之和时,不妨用 2)设O为坐标原点,证明:∠MMA 种构造齐次式的方法,下面用此法解2020 年新高考的第22题,具体方法与步骤如下 解析:(1)答案略 如图3,以A为新原点,建立直角坐标系 (2)当直线(与x轴重合时,∠OMA=a2ay2,在新系中椭圆方程为t 当直线与x轴垂直时,OM为AB的 设直线方程为laus:mx+y 垂直平分线,所以∠OMA 方程C整理得,x2+4x+2y2+4y=0,将 当直线与x轴不重合也不垂直时,设此式 齐次化“,变为二次式,即 直线的方程为y=k(x-1)(k≠0)+A(x 子两边 则x1</2,x1<2,直线MA,MB的斜 +4m+1-0,令2一,所以原式变为 得k+k 4n+2)k2十(4a+4m)k十4m+1=0 因为AN⊥AM.所以 代人2+y2=1,得(2h2+1)x2一4k2x+ 所以在直角坐标系xay中直线恒过 周确即中学生理化 3)·在原来坐标系中恒过点于A,B两点,在直线PA和PB斜率之和或斜 率之积为定值的情况下,直线AB过定点问题 可以利用平移构造齐次式的方法秒杀。只是要 注意构造齐次时巧妙利用直线方程nx+ny 2018年新课标第20题第二问.将因 按照向量M方向平移得到税圆C 需要一次直接乘,需要二次可以将其平方再 乘。接者将齐次式两边同时除以x2,整理为 直线过点F(-1,0),即m=-1.椭瞬C’,斜率之和或之积的表达式,整理成关于m,n的 关系式,就可以知道平移后的直线过定点,那么 原来的直线过定点也就一目了然 式“齐次化”变为二次式,即 定点问題是常见的出题形式,化解这类 4r(mr+ny)+2y2+2(mx+ny)2=0。式问题的关键就是引进参数表示直线方程、数 两边同时除以,为(2+2)+量,比关系等,根等式成式变 题迺法是联立消元法,设出直线方程,通过韦 原式变为(2+2n2)k2 a+mn)b+2m2+达定理和已知条件找出斜率和截距的一次函 4m+1-0,因为平移前后直线的斜率不变 关系式,代人直线方程即可。只是计算 比较大,演算过程比较麻烦,这便成为很多同 学惧不前的障碍。如果能够从锥曲线,直 =0,所以线的方程的结构特征出发,采取齐次式的转化 ∠OMA-∠OMB 么解题必然会事半功倍,柳暗花明 过一个定点P作两条直线与阙锥曲线交 青任煸徐利杰 同类变式10:(2018 年福建省质检)如图8 (3a+c)-(2c