09七种解法处理2021年新高考Ⅰ卷第19题-《中学生数理化》高二数学2021年9月刊

中学生数理代三数学新团根 七种解法处理2021年新高考丨卷第19题 ■河北南宫中学霍忠林 将解三角形与平面图形结合来考查三角c0∠ABC=+c2-b=9+9c2-3a 知识是各地模拟题和高考题的热点。这类试 2a×3a 题往往涉及的三角形个数较多,如何将这些 三角形通过已知条件建立联系,是难点,也是61(舍去) 同学们的思维“痛点”。鉴于此,本文以2021 当2a=3c时,b=26a,在△ABC中 年普通高等学校招生全国统一考试新高考I 卷第19题为例,通过七种解法来分析此类问cs∠ABC 题的破题策略。 2021年新高考I卷第19题】记△ABCa+a2-( 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b2 aC,点D在边AC上, BAsin∠ABC (1)证明:BD=b; 点评:本题中∠ADB和∠CDB互补,从 解析:第一问证明不再赘述,下面重点研 而利用其余弦值互为相反数采用“算两次”方 法来处理 究第二问 策略一、“算两次”原理法 策略二、向量法 “算两次”原理就是将一个量用两种方 向量法是处理“爪”形图的一把利器,基 分别计算一次,由结果相同构造等式解决 本思想就是“用两边向量表示中间向量”,再 问题的思维方法,这种思维方法是一个重要通过两边平方来解题 的数学原理,其在解题中应用非常广泛 解法2:注意到AD=2DC,故BD 解法1:如图1,在 BA+÷BC,两边平方得b2 △ADB中,由余弦定理得 COS accos∠ABC。① AD+BD-AB 2AD·BD 在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+ ∠ABC 图 由①、②式联立得6a2-11b2+3c2=0 2×-b×b 在△CDB中,由余弦定理得cos∠CDB 点评:该解法通过BD=-BA+ b2+b2 再两边平方,来实现cos∠ABC与三边a,b, 2C1·BD c的关系。这种处理手段在“爪”形图中经常 2×-b×b 遇到,实际上我们还可以得到下面更一般的 而∠ADB+∠CDB=x,故cos∠ADB s∠CDB=0 设D为△ABC边AC上一点,且AD= 由①、②式得6a2-11b2+3c2=0。 注意到b2=ac,故6a2-11ac+3c2= mDC(m>0),则BD 解得 或2 图2,过D作DE∥AB交 当3a=c时,b=3a,在△ABC中BC于E,过D作DF∥BC交AB于F。 口酸理中孕生表理化 则BD=BE+BF △ABC 故 BA 3×-b ∠BD 就是常见的中线向量BD 而b2=ac,故sin∠ABC=sin∠BL 因此∠ABC=∠BDC或∠A 令(BC+BA)(中线向 图2 ∠BDA。 当∠ABC=∠BDC时,易得△ABC∽ 策略三、坐标法 △BDC,从而BC2=CA·CD 该策略就是将平面图形置于平面坐标系 于是c=3a。下同解法1 中,通过坐标的运算来解题 当∠ABC=∠BDA时,易得△ABC 解法3:以D点为坐标原点,边AC所在△ADB,从而BA2=AD·AC 的直线为x轴,建立平面坐标系。不妨设 于是2a=3c,下同解法1 CD=1,B(x,y),则C(1,0),A(-2,0)。由 点评:该解法的“精妙之处”在于抓住题 (x+2)2+ 目所给的优美数据“BD=b”,再利用两个三 角形的面积关系“恰好”得出sin∠ABC= 由BD=b,得/x2+y2=3。② sin∠BDC,这为后续的三角形相似提供了便 由①、②式联立得x=-4 解 如图3 作DE∥AB交BC于E, 则△AB 所以 DE BE (x+2)2+y2=/6。 在△ABC中,由余弦定理得cos∠ABC 图3 注意到∠ABC= ∠DEC,而∠DEB+∠DEC=x。 综上,cos∠ABC 采用类似于解法1的处理手段: 由0=cos∠DEC+cos∠DEB 点评:注意到D点是一个三等分点,因c2a2b2c24a 此以D点建系比较方便。实际上以B点为 999 化简得 坐标原点,BA所在的直线为x轴来建系也 2× 于篇幅,不再赘述 11b2 策略四、平面几何法 下同解法1。 该策略就是通过直接(或者添加辅助线 点评:本解法通过添加辅助线DE,从而 寻找相似三角形来解题,这需要有一定的平借助cs∠DEC+cos∠DEB=0来解题。 面几何知识,因此对同学们的数学思维要求 解法6:如图4,过C作 CF∥AB交BD的延长线于 解法4:注意到S△MC= actin.∠ABC,F,则△ABDO△CDF 而BF=b,CF S△B=2 DB X DCsin∠BDC=2b (下转第48页) 图4 中学生数理代薄练数学越心考A片爷案 B)I=3+0(3sin A+ 2cos A)=3 由题意可知,△ABC的内切圆半径为1 如图1,设圆Ⅰ为三角形ABC的内切 33sn(A+9) 圆,D,E为切点,可得AI=2,A