考向18 数列不等式-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）

考向18 数列不等式 1.（2020•上海真题）有限数列 ，若满足 ， 是项数，则称 满足性质 . （1） 判断数列 和 是否具有性质 ，请说明理由. （2） 若 ，公比为 的等比数列，项数为10，具有性质 ，求 的取值范围. （3） 若 是 的一个排列 都具有性质 ，求所有满足条件的 . 【答案】（1）对于第一个数列有 ， 满足题意，该数列满足性质 对于第二个数列有 不满足题意，该数列不满足性质 . （2）由题意可得， 两边平方得： 整理得： 当 时，得 ，此时关于 恒成立， 所以等价于 时 ，所以 ， 所以 或者q≥l，所以取 . 当 时，得 , 此时关于 恒成立， 所以等价于 时 ，所以 ， 所以 ,所以取 。 当 时，得 。 当 为奇数的时候，得 , 很明显成立， 当 为偶数的时候，得 ，很明显不成立， 故当 时，矛盾，舍去。 当 时，得 。 当 为奇数的时候，得 , 很明显成立， 当 为偶数的时候，要使 恒成立， 所以等价于 时 ，所以 ， 所以 或者 ，所以取 。 综上可得， 。 （3）设 EMBED Equation.DSMT4 因为 ， 可以取 或者 ， 可以取 或者 。 如果 或者 取了 或者 ，将使 不满足性质 所以， 的前五项有以下组合： ① ， ， ， ， ， ② ， ， ， ， ， ③ ， ， ， ， ， ④ ， ， ， ， ， 对于①， ， ， ，与 满足性质 矛盾，舍去。 对于②， ， ， ， 与 满足性质 矛盾，舍去。 对于③， ， ， ， 与 满足性质 矛盾，舍去。 对于④， ， ， ，与 满足性质 矛盾，舍去。 所以 均不能同时使 ， 都具有性质 。 当 时，有数列 ： 满足题意。 当 时，时有数列 ： 满足题意。 当 时，有数列 ： 满足题意。 当 时，有数列 ： 满足题意。 故满足题意的数列只有上面四种。 2．（2020·浙江高考真题）已知数列{an}，{bn}，{cn}中， ． （Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比 ，且 ，求q与{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差 ，证明： ． 【答案】（I） ；（II）证明见解析. 【分析】（I）根据 ，求得 ，进而求得数列 的通项公式，利用累加法求得数列 的通项公式. （II）利用累乘法求得数列 的表达式，结合裂项求和法证得不等式成立. 【详解】（I）依题意 ，而 ，即 ，由于 ，所以解得 ，所以 . 所以 ，故 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 . 所以 （ ）. 所以 ，又 ， 符合， 故 . （II）依题意设 ，由于 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 ， 故 EMBED Equation.DSMT4 . 又 ，而 ， 故 所以 . 由于 ，所以 ，所以 . 即 ， . 【点睛】本小题主要考查累加法、累乘法求数列的通项公式，考查裂项求和法，属于中档题. 3．（2021·天津高考真题）已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比大于0的等比数列， ． （I）求 和 的通项公式； （II）记 ， （i）证明 是等比数列； （ii）证明 【答案】（I） ， ；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（I）由等差数列的求和公式运算可得 的通项，由等比数列的通项公式运算可得 的通项公式； （II）（i）运算可得 ，结合等比数列的定义即可得证； （ii）放缩得 ，进而可得 ，结合错位相减法即可得证. 【详解】（I）因为 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以 ，所以 ， 所以 ； 设等比数列 的公比为 ， 所以 ，解得 （负值舍去）， 所以 ； （II）（i）由题意， ， 所以 ， 所以 ，且 ， 所以数列 是等比数列； （ii）由题意知， ， 所以 ， 所以 ， 设 ， 则 ， 两式相减得 ， 所以 ， 所以 . 【点睛】关键点点睛：最后一问考查数列不等式的证明，因为 无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即可得证. ①函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式； ②放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到； ③比较方法：作差或者作商比较．　 一、单选题 1．（2020·上海高三专题练习）若数列 满足 ，且 ，若使不等式 成立的 有且只有三项，则 的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用累和法求出数列 的通项公式，再分类讨论，根据数列的单调性和绝对值的性质进行求解即可. 【详解】当 时， ， 于是有： ， 所以 ，显然 也适合， 因此数列 的通项公式为： . 当 为奇数时， ，此时数列 的奇数项数列是单调递增函数；