考向17 数列新定义-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）

考向17 数列新定义 1．（2020·全国高考真题（理））0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 满足 ，且存在正整数 ，使得 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足 的最小正整数 为这个序列的周期.对于周期为 的0-1序列 ， 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足 的序列是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据新定义，逐一检验即可 【详解】由 知，序列 的周期为m，由已知， ， 对于选项A， ，不满足； 对于选项B， ，不满足； 对于选项D， ，不满足； 故选：C 【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题. 2．（2020·江苏高考真题）已知数列 的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有 成立，则称此数列为“λ~k”数列． （1）若等差数列 是“λ~1”数列，求λ的值； （2）若数列 是“ ”数列，且an＞0，求数列 的通项公式； （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列 为“λ~3”数列，且an≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由， 【答案】（1）1（2） （3） 【分析】（1）根据定义得 ，再根据和项与通项关系化简得 ，最后根据数列不为零数列得结果； （2）根据定义得 ，根据平方差公式化简得 ，求得 ，即得 ； （3）根据定义得 ，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满足的条件，解得结果 【详解】（1） （2） ， （3）假设存在三个不同的数列 为 数列. 或 或 ∵对于给定的 ，存在三个不同的数列 为 数列，且 或 有两个不等的正根. 可转化为 ，不妨设 ，则 有两个不等正根，设 . ① 当 时， ，即 ，此时 ， ，满足题意. ② 当 时， ，即 ，此时 ， ，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去. 综上， 【点睛】本题考查数列新定义、由和项求通项、一元二次方程实根分步，考查综合分析求解能力，属难题. 解决数列的新定义问题，常用的解题思路是：审题、建模、研究模型、解决新定义问题。研究模型时需注意：(1) 量(多个量) ；(2) 量之间的关系(规律)：等差、等比规律；递推关系；其它规律——由特殊到一般进行归纳总结；(3) 与数列通项公式有关或与前n项和有关等． 数列是高考重点考查的内容之一，其命题形式多种多样，其中基于问题情境的数列问题在高考中逐步成为热点。通过具体的问题背景或新的定义，考察数列在问题情境中的应用，以此来检验学生的核心价值，学科素养，关键能力，必备知识。 解决数列的新定义问题，常用的解题思路是：审题、建模、研究模型、解决新定义问题。研究模型时需注意：(1) 量(多个量) ；(2) 量之间的关系(规律)：等差、等比规律；递推关系；其它规律——由特殊到一般进行归纳总结；(3) 与数列通项公式有关或与前n项和有关等． 1．等差数列与等差中项 (1)定义： ①文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数； ②符号语言：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．an－an-1＝d (n n∈N*，d为常数)． (2)等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．即A= ． 2．等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d． (2)前n项和公式：Sn＝na1＋． d＝ 3．等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．(3)若k＋l＝2m (k，l，m∈N*),则ak＋al＝2am． 4．等差数列与函数的关系 (1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差d＞0，则为递增数列，若公差d＜0，则为递减数列． (2)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋n是关于n的二次函数且常数项为0. n2＋d＝ 5．等比数列的有关概念 (1)定义： ①文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(非零)． ②符号语言： ＝q(n∈N*，q为非零常数)．(n n∈N*，d为常数)． (2)等比中项：如果a，A，b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项．即A＝ ． 6．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1． (2)前n项和公式：Sn＝ 7．等比数列的性质 已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(m，n，p，q，r，k∈N*) (1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an