考向16 数列求和及数列的综合应用-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）

考向16 数列求和及数列的综合应用 1．（2012·上海高考真题（理））设，. 在中，正数的个数是（ ） A．25. B．50. C．75. D．100. 【答案】D 【详解】由于f（n）=sin 的周期T=50 由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a25=0，a26，a27，…，a49＜0，a50=0 且sin ，sin …但是f（n）= 单调递减 a26…a50都为负数，但是|a25|＜a1，|a26|＜a2，…，|a49|＜a24 ∴  S1，S2，…，S25中都为正，而s26，s27，…，s50都为正 同理S1，S2，…，s75都为正，S1，S2，…，s75，…，s100都为正， 故选D 2．（2021·浙江高考真题）已知数列 满足 .记数列 的前n项和为 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】显然可知， ，利用倒数法得到 ，再放缩可得 ，由累加法可得 ，进而由 局部放缩可得 ，然后利用累乘法求得 ，最后根据裂项相消法即可得到 ，从而得解． 【详解】因为 ，所以 ， ． 由 ，即 根据累加法可得， ，当且仅当 时取等号， ， 由累乘法可得 ，当且仅当 时取等号， 由裂项求和法得： 所以 ，即 ． 故选：A． 【点睛】 本题解题关键是通过倒数法先找到 的不等关系，再由累加法可求得 ，由题目条件可知要证 小于某数，从而通过局部放缩得到 的不等关系，改变不等式的方向得到 ，最后由裂项相消法求得 ． 3．（2021·全国高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到 ， 两种规格的图形，它们的面积之和 ，对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的图形，它们的面积之和 ，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折 次，那么 ______ . 【答案】5 【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得 ，再根据错位相减法得结果. 【详解】 （1）由对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的图形，所以对着三次的结果有： ，共4种不同规格（单位 ； 故对折4次可得到如下规格： ， ， ， ， ，共5种不同规格； （2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为 的等比数列，首项为120 ,第n次对折后的图形面积为 ，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为 种（证明从略），故得猜想 ， 设 ， 则 ， 两式作差得： ， 因此， . 故答案为： ； . 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于 结构，其中 是等差数列， 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于 结构，利用分组求和法； （4）对于 结构，其中 是等差数列，公差为 ，则 ，利用裂项相消法求和. 4．（2017·上海高考真题）根据预测，某地第 EMBED Equation.DSMT4 个月共享单车的投放量和损失量分别为 和 （单位：辆）， 其中 ， ，第 个月底的共享单车的保有量是前 个月的 累计投放量与累计损失量的差. （1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量； （2）已知该地共享单车停放点第 个月底的单车容纳量 （单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 【答案】（1）935；（2）见解析. 试题分析：（1）计算 和 的前 项和的差即可得出答案； （2）令 得出 ，再计算第 个月底的保有量和容纳量即可得出结论. 试题分析： （1） （2） ，即第42个月底，保有量达到最大 ，∴此时保有量超过了容纳量. 5．（2012·上海高考真题（文））对于项数为m的有穷数列数集，记（k=1,2,…,m），即为中的最大值，并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5. （1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的； （2）设是的控制数列，满足（C为常数，k=1,2,…,m）. 求证：（k=1,2,…,m）； （3）设m=100，常数.若，是的控制数列， 求. 【答案】（1）数列为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3； 2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5.（2）见解析；（3）. 【解析】（1）数列为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3； 2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……4分 （2）因为，， 所