考向15 等比数列-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）

考向15 等比数列 1．（2016·上海高考真题（理））已知无穷等比数列的公比为，前n项和为，且.下列条件中，使得 恒成立的是. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析： 由题意得： ，所以 ，所以对一切正整数恒成立，当 时， 不恒成立，舍去；当 时， ，因此选B. 【考点】数列的极限、等比数列求和 【名师点睛】本题解答时确定不等关系是基础，准确分类讨论是关键，易错点是在建立不等关系之后，不知所措或不能恰当地分类讨论.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等. 2．（2017·上海高考真题）在数列 中， ， ，则 A．等于 B．等于0 C．等于 D．不存在 【答案】B 【详解】 数列 中， ，则 ，故选B. 3．（2014·上海高考真题（理））设无穷等比数列{}的公比为q，若，则q=______. 【答案】 【解析】由题意 ，即 ，∵ ，∴ . 【考点】无穷递缩等比数列的和. 4．（2010·上海高考真题）定义域为R，且对任意实数都满足不等式的所有函数组成的集合记为M，例如，函数． （1）已知函数，证明：； （2）写出一个函数，使得，并说明理由； （3）写出一个函数，使得数列极限 【详解】 本题开考查分段函数、不等式与数列极限. 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解. 2.(1)方程思想：如求等比数列中的基本量. (2)分类讨论思想：如求和时要分q＝1和q≠1两种情况讨论，判断单调性时对a1与q分类讨论. 1.等比数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列. 数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数). (2)如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项，其中G＝±. 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝. ＝ 3.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有ak·al＝am·an. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak， ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm. (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn. 4 数列极限的定义：一般地，如果当项数 无限增大时，无穷数列 的项 无限趋近于某个常数 （即 无限地接近于0），那么就说数列 以 为极限 记作 ．（注： 不一定是 中的项 ） 5.几个重要极限： （1） （3） （2） （C是常数） （4） 6．极限问题的基本类型： 分式型，主要看分子和分母的首项系数； 指数型( 型），通过变形使得各式有极限； 根式型( 型)，通过有理化变形使得各式有极限； 7. 数列极限的运算法则: 如果 那么 　　 　　 8．无穷等比数列的各项和 （1）公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和，当n无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做 HYPERLINK "http://www.xjktyg.com/wxc/" （2） HYPERLINK "http://www.xjktyg.com/wxc/" 一、单选题 1．（2020·上海高三专题练习）设数列 ，下列判断一定正确的是（ ） A．若对任意正整数n，都有 成立，则 为等比数列 B．若对任意正整数n，都有 成立，则 为等比数列 C．若对任意正整数m，n，都有 成立，则 为等比数列 D．若对任意正整数n，都有 成立，则 为等比数列 【答案】C 【分析】根据等比数列的定义和判定方法逐一判断. 【详解】对于A，若 ，则 ， ，则 ，即后一项与前一项的比不一定是常数，故A错误； 对于B，当 时，满足 ，但数列 不为等比数列，故B错误； 对于C，由 可得 ，则 ，所以 ，故 为公比为2的等比数列，故C正确； 对于D，由 可知 ，则 ，如1，2，6，12满足 ，但不是等比数列，故D错误. 故选：C. 【点睛】方法点睛：证明或判断等比数列的方法， （1）定义法：对于数列 ，若 ，则数列 为等比数列； （2）等比中项法：对于数列 ，若 ，则数列 为等比数列； （3）通项公式法：若 （ 均是不为0的常数），则数列 为等比数列； （4）特殊值法：若是选择题、填空题可以用特殊值法判断，特别注意 的判断. 2