考向14 等差数列-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）

考向14 等差数列 1．（2021·山东高考真题）某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，而且从第二排起，每排比前一排多3名，求第一排应安排多少名演员． 【答案】18 【分析】根据已知条件，利用等差数列的前n项和公式求第一排的演员数量即可. 【详解】由题意，各排人数组成等差数列 ， 设第一排人数是 ，公差 ，前5项和 ， 由 知： ，解得 ． ∴第一排应安排18名演员. 2．（2020·山东高考真题）某男子擅长走路，9天共走了1260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为390里.若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男子第5天走多少里.这是我国古代数学专著《九章算术》中的一个问题，请尝试解决. 【答案】140里. 【分析】由条件确定，该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列，根据等差数列的通项公式，和前 项和公式，列式求解. 【详解】解：因为从第2天起，每天比前一天多走的路程相同， 所以该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列， 设该数列为 ，第1天走的路程数为首项 ，公差为 ， 则 ， . 因为 ， ， 所以 ，解得 ， 则 ， 所以该男子第5天走140里. 3．（2019·上海高考真题）已知数列 ， ，前 项和为 . （1）若 为等差数列，且 ，求 ； （2）若 为等比数列，且 ，求公比 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） ； 【分析】（1）通过 ，求解出 ，通过求和公式得到 ；（2）根据 可得 且 ，从而得到不等式 ，解不等式得到结果. 【详解】（1）由 且 （2）由题意可知 则 且 或 又 【点睛】本题考查等差数列求和、等比数列前 项和的应用问题.利用等比数列前 项和的极限求解 的范围的关键在于能够明确存在极限的前提，然后通过公式得到关于 的不等式，求解不等式得到结果. 1.数列是特殊的函数，要利用函数的观点认识数列. 2.已知递推关系求通项公式的三种常见方法： (1)算出前几项，再归纳、猜想. (2)形如“an＋1＝pan＋q”这种形式通常转化为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列. (3)递推公式化简整理后，若为an＋1－an＝f(n)型，则采用累加法；若为＝f(n)型，则采用累乘法. 1.等差数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N+，d为常数). (2)如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，且A＝. 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋. ＝ 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N+)是公差为md的等差数列. (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. (5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列. 一、单选题 1．（2021·上海高三专题练习）椭圆 上有10个不同的点 ，若点 坐标为 ，数列 是公差为 的等差数列，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设椭圆上一点 ，可知 ，则可求出 ，即可求出 的最大值为 . 【详解】设椭圆上一点 ，其中 且 ， 则 ，∴ ， ∴ .故选：C. 【点睛】本题考查椭圆上点到定点距离的取值范围，考查等差数列的性质，属于中档题. 2．（2020·上海高三专题练习）设函数 ， 是公差为 的等差数列， ，则 ( ) A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】由 ，又 是公差为 的等差数列，可求得 ，由题意可求得 ，从而可求得答案． 【详解】 ， ， 是公差为 的等差数列， ，由和差化积公式可得， ， ， ， 设 ，所以 ， 所以函数 在定义域内单调递增.所以方程 最多只有一个解. 当 时， .所以 . EMBED Equation.DSMT4 ． 故选：D. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质和三角恒等变换，考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究方程的根，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 二、填空题 3．（2020·上海高三专题练习）设公差不为 的等差数列 的前 项和为 .若数列 满足：存在三个不同的正整数 ，使得 成等比数列， 也成等比数列，则 的最小值