专题05 共焦点椭圆、双曲线模型-2022年高考数学之解密圆锥曲线命题点对点突破（全国通用）

专题05　共焦点椭圆、双曲线模型 秒杀结论　已知椭圆C1：＋＝1(其中a＞b＞0)与双曲线C2：－＝1(其中m＞0，n＞0)共焦点，e1，e2分别为C1，C2的离心率，M是C1，C2的一个交点，θ＝∠F1ＭF2，则 Ⅰ．|MF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m；Ⅱ．＋＝1． 【方法技巧】 结论Ⅰ的推导是用椭圆与双曲线的定义，然后两式相加，相减．凡是已知公共焦点三角形中的一边（焦半径）或三边的比例关系（可取特值，特别是在直角三角形中），然后使用结论Ⅰ：|MF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m，找到a，m，c的关系，从而解决问题．可免去用椭圆与双曲线的定义，节省时间．关于结论Ⅰ的记忆是长边加，短边减，椭圆的长半轴在前，双曲线的实半轴在后． 结论Ⅱ的推导是先用椭圆与双曲线的定义，然后用余弦定理，或用焦点三角形的面积相等．凡是已知公共焦点三角形中的顶角（或隐含如例2(6)，对点练5，6），然后使用结论Ⅱ：＋＝1，可快速到e12，e22的关系，从而解决问题．如果求最值注意基本不等式的使用，如不能用基本不等式可利用三角换元转化为三角函数的最值(如例2(5)，对点练4，6)或用柯西不等式(选修4－5)．关于结论Ⅱ的记忆类比平方关系，在正弦，余弦下分别加上椭圆与双曲线的离心率的平方． 【例题选讲】 [例11]　(59)椭圆与双曲线有公共焦点F1，F2，它们在第一象限的交点为A，且AF1⊥AF2，∠AF1F2＝30°，则椭圆与双曲线的离心率的倒数和为(　　) A．2　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　C．2　　　　　　　　　D．1 答案　B　秒杀　设椭圆方程为：＋＝1(a>b>0)，双曲线方程为－＝1(m>0，n>0)，根据题意，可设|AF1|＝，|AF2|＝1，|F1 F2|＝2，则a＋m＝，a－m＝１，∴＋＝＋＝＝．故选B． (60)中心在原点的椭圆C1与双曲线C2具有相同的焦点，F1(－c，0)，F2(c，0)，P为C1与C2在第一象限的交点，|PF1|＝|F1F2|且|PF2|＝3，若椭圆C1的离心率e1∈，则双曲线的离心率e2的范围是(　　) A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．(2，3) 答案　C　秒杀　设椭圆方程为：＋＝1(a>b>0)，设双曲线方程为－＝1(m>0，n>0)，由题意有，a＋m＝2c，a－m＝3，所以m＝2c－a，又e2＝＝＝，因为e1∈，所以∈，所以e2∈. (61)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2＋1的取值范围为(　　) A．(1，＋∞)　　　　　B．(，＋∞)　　　　　C．(，＋∞)　　　　　D．(，＋∞) 答案　B　秒杀　设椭圆方程为：＋＝1(a>b>0)，设双曲线方程为－＝1(m>0，n>0)，由题意有，a＋m＝10，a－m＝2c，所以a＝5＋c，m＝5－c，c＞，又e1e2＋1＝＋1＝＋1＞．故选B． 【对点训练】 88．F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A是C1，C2在第一象限的交点，且AF1⊥AF2，∠AF1F2＝ ，则C1与C2的离心率之积为(　　) A．2　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　D． 89．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点 为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若双曲线的离心率为3，则椭圆的离心率为(　　) A．　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　D． 90．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1、F2，且它们在 第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，双曲线的离心率的取值范围为(1，2)．则该椭圆的离心率的取值范围是(　　) A．(，)　　　　　B．(，)　　　　　C．(，)　　　　　D．(，1) 91．已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|>|PF2|，线段PF1的垂直平 分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则＋的最小值为(　　) A．6　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 92．如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的交点，若AF1 ⊥BF1，且∠AF1O＝，则C1与C2的离心率之和为(　　) A．2　　　　　　　　B．4　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．2 [例12]　(62)已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC的斜边AC的两端点为焦点的曲